Seminar-QuantumAdvInLGT
SU(2) 格点规范理论（Hamiltonian/Lagrangian），Powered by GPT
目标：从连续规范场论的 Lagrangian 出发，系统推导到 SU(2) 格点（Wilson）作用量与 Kogut–Susskind（KS）哈密顿量；并严格给出 link 变量 (U) 与电场 (E) 的李群/李代数结构、量子化后在 (L^2(SU(2))) 上的算符实现、以及 electric basis（(|j m_L m_R)）的选择与为何出现 6j 符号。
Intro
The GK theorem implies that only quantum circuits requiring such non-Clifford gates can realize true quantum advantage.
In practice, it would be most helpful to have a quantitative measure of the potential advantage of quantum computation over classical computation for simulating a given quantum system. This measure has become known as non-stabilizerness or “magic”
A quantity related with magic is anti-flatness, For subsystem , reduced density matrix defined \[ \rho_A = Tr_{A^c}(\rho) \] where \(A^c\) represents complement of subsystem. Entangle entropy \[ S_A = -Tr(\rho_A\log\rho_A) \] provides a measure of the entanglement in the full system wave function. Define Anti-flatness \[ \mathcal F = Tr(\rho_A^3)-[Tr(\rho_A^2)]^2 \]
This Definition defines a Non-Local magic, this reflects correlation of non-stabilizer, can not be eliminated by local unitary transformation.
We pursue the question whether the description of thermalization of an isolated quantum system requires quantum computing,----Yes
Method
They considered 3d, SU(2) gauge theory \[ \boxed{ H=\int d^2x\left(\frac12E_i^aE_i^a+\frac14F_{ij}^aF_{ij}^a\right) -\int d^2x\,A_0^a(D_iE_i)^a. } \]
\[ \boxed{ H =\frac{g^2}{2a}\sum_{\text{spatial links }\ell} E_\ell^aE_\ell^a +\frac{2}{g^2a}\sum_{\text{plaquettes }\square}\left(1-\frac12\mathrm{Tr}U_\square\right). } \] With cut-off dimension \(j_{max}=1\) ，7-aperiodic plaquette chain, \(g^2\in[0.1,1.5]\)
Electric basis state is written as tensor product of j-quantum numbers of individual links \(|\{j\}\rangle\)
Consider two-plaquette subsystem , calculate their density matrix \(\rho_A\)
Finding
Fig1-a. Entanglement entropy keeps going to maximum, magic goes up rapidly and then falls down.
Fig1-b Flatness of Entanglement Hamiltonian \(H = -\log\;\rho\) -----Has been pointed out that flatness means vanish of anti-flatness。----time at the middle has more quantum advantage.
Fig2-a simulated 2728 cases in energy window, they all show the same manner
Fig2-b rescaled the time ------different cases are condensed (they find a universal mode)
Fig2-c Correlation of Magic Barrier Time & Maximum entropy enhancement-speed time
Fig3-a change coupling
Fig3-b change coupling
Fig3-c Ensamble average
约定与基本对象
SU(2) 李代数与生成元归一化
选取 SU(2) 生成元 \[
T^a=\frac{\sigma^a}{2}\quad (a=1,2,3),
\] 满足 \[
[T^a,T^b]=i\epsilon^{abc}T^c,\qquad
\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}.
\]
连续规范场
规范场（联络） \[
A_\mu(x)=A_\mu^a(x)T^a,
\] 协变导数 \[
D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu,\qquad D_\mu\psi=(\partial_\mu-igA_\mu)\psi.
\] 曲率（场强） \[
F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]
\equiv F_{\mu\nu}^aT^a,
\] 分量 \[
F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu
A_\mu^a+g\epsilon^{abc}A_\mu^bA_\nu^c.
\]
时空维度与指标
本文主要对 (2+1) 维（空间 2
维：(x,y)）做说明，但很多结构对任意维度通用。
- (,,1,2)（时间 0 与空间 1,2）
- (i,j=1,2)（空间方向）
- 度规取 Minkowski：(=(+,-,-))。
连续理论：从 Lagrangian 到 Hamiltonian 与 Gauss 约束
起点：Yang–Mills 与纯规范场
连续拉氏量： \[
\mathcal L=\bar\psi(i\!\not\!D-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}.
\] 本文关注纯规范场（paper 的 pure SU(2) LGT），先把物质项拿掉：
\[
\mathcal L_g=-\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}.
\] （如需保留物质，只需在 Gauss 定律右边加上电荷密度
(a=T^a)。）
把 (L_g) 写成 (E2-B2) 形式
分解 (F_{})。电场定义为 \[
E_i^a\equiv F_{0i}^a.
\] 在 2+1 维磁场只有一个分量（严格是 (F_{12})）： \[
B^a\equiv F_{12}^a.
\] 先展开 \[
F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}=2F_{0i}^aF^{a0i}+F_{ij}^aF^{aij}.
\] 用 ({00}=+1,{ii}=-1) 得 \[
F^{0i}=-F_{0i},\qquad F^{ij}=+F_{ij}.
\] 因此 \[
\mathcal L_g=-\frac14(2F_{0i}^aF^{a0i}+F_{ij}^aF^{aij})
=\frac12F_{0i}^aF_{0i}^a-\frac14F_{ij}^aF_{ij}^a.
\] 在 2+1 维 (F_{ij}) 只有 (F_{12})，于是 \[
\boxed{\mathcal L_g=\frac12E_i^aE_i^a-\frac12B^aB^a.}
\]
正则动量就是电场：严格推导
定义正则动量 \[
\pi_i^a\equiv\frac{\partial\mathcal L_g}{\partial(\partial_0A_i^a)}.
\] 注意 \[
F_{0i}^a=\partial_0A_i^a-\partial_iA_0^a+g\epsilon^{abc}A_0^bA_i^c,
\] 对 (_0A_j^b) 的偏导为 \[
\frac{\partial
F_{0i}^a}{\partial(\partial_0A_j^b)}=\delta_{ij}\delta^{ab}.
\] 而 (L_g) 中含 (0A_i) 的部分仅为
(12F{0i}aF_{0i}a)，所以 \[
\pi_i^a
=\frac{\partial}{\partial(\partial_0A_i^a)}\left(\frac12F_{0k}^cF_{0k}^c\right)
=F_{0k}^c\frac{\partial F_{0k}^c}{\partial(\partial_0A_i^a)}
=F_{0i}^a.
\] 因此 \[
\boxed{\pi_i^a=E_i^a=F_{0i}^a.}
\] 同时 \[
\pi_0^a=\frac{\partial\mathcal L_g}{\partial(\partial_0A_0^a)}=0,
\] 这说明 (A_0^a)
没有共轭动量，它不是动力学自由度，将产生约束（Gauss
约束）。
Hamiltonian 密度与 (A_0) 作为拉格朗日乘子
Hamiltonian 密度 \[
\mathcal H=\pi_i^a\partial_0A_i^a-\mathcal L_g=E_i^a\dot A_i^a-\mathcal
L_g.
\] 用 \[
E_i^a=F_{0i}^a=\dot A_i^a-(D_iA_0)^a
\quad\Rightarrow\quad
\dot A_i^a=E_i^a+(D_iA_0)^a,
\] 得 \[
E_i^a\dot A_i^a=E_i^aE_i^a+E_i^a(D_iA_0)^a.
\] 代入 (L_g=12E2-14F_{ij}2)： \[
\mathcal H=\left(E^2+E\cdot
DA_0\right)-\left(\frac12E^2-\frac14F_{ij}^2\right)
=\frac12E^2+\frac14F_{ij}^2+E_i^a(D_iA_0)^a.
\] 对最后一项做（协变）分部积分（忽略边界项）： \[
\int d^2x\,E_i^a(D_iA_0)^a
=-\int d^2x\,A_0^a(D_iE_i)^a.
\] 因此 \[
\boxed{
H=\int d^2x\left(\frac12E_i^aE_i^a+\frac14F_{ij}^aF_{ij}^a\right)
-\int d^2x\,A_0^a(D_iE_i)^a.
}
\] Gauss 约束来自对 (A_0)
的变分（它没有动量，只是约束乘子）： \[
\frac{\delta H}{\delta A_0^a(x)}=-(D_iE_i)^a(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{(D_iE_i)^a=0 \text{（纯规范场）}.}
\] 若含物质（费米子），则 \[
(D_iE_i)^a=\rho^a,\qquad \rho^a=\psi^\dagger T^a\psi.
\]
结论：Gauss 约束不是“手加”的，而是 Hamiltonian 化时 (A_0) 无共轭动量的必然结果。
从连续到格点：Wilson（Euclidean）格点 Action
空间–时间都离散：格点与 link
这里推导“格点 Lagrangian”通常指 Euclidean 路径积分的 Wilson 作用量。它与
Hamiltonian 形式等价（可通过 transfer matrix 连接），但表述不同。
取超立方格点，格距 (a)。格点位置记 (n)（整数坐标），单位矢量 () 指向 () 方向邻点。link 变量定义在每条边上： \[ U_\mu(n)\in SU(2),\qquad U_\mu(n)=\mathcal P\exp\!\left(ig\int_{n}^{n+\hat\mu} A_\mu(x)\,dx^\mu\right). \] 小 (a) 近似： \[ U_\mu(n)\approx \exp\!\left(iag A_\mu(n)\right). \]
格点规范变换与 link 的平行运输意义
连续局域变换 ((x)SU(2))： \[
A_\mu\to \Omega
A_\mu\Omega^\dagger+\frac{i}{g}\Omega\partial_\mu\Omega^\dagger.
\] 格点上局域变换 ((n)SU(2)) 作用于 link： \[
\boxed{
U_\mu(n)\to \Omega(n)\,U_\mu(n)\,\Omega^\dagger(n+\hat\mu).
}
\] 这条变换律就是“(U_(n)) 把颜色从 (n) 平行运输到
(n+)”的严格表达：起点左乘，终点右乘。
板元（plaquette）与曲率
定义最小闭环（() 平面）板元： \[
U_{\mu\nu}(n)=U_\mu(n)\,U_\nu(n+\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(n+\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(n).
\] 在规范变换下 \[
U_{\mu\nu}(n)\to \Omega(n)\,U_{\mu\nu}(n)\,\Omega^\dagger(n),
\] 所以 (,U_{}(n)) 是规范不变量。
连续极限用 BCH 展开（标准结果）： \[ U_{\mu\nu}(n)=\exp\!\left(iga^2 F_{\mu\nu}(n)+O(a^3)\right). \] 因此 \[ \frac12\mathrm{Tr}\,U_{\mu\nu}(n) =1-\frac{g^2a^4}{4}F_{\mu\nu}^aF_{\mu\nu}^a+O(a^6), \] 所以 \[ F_{\mu\nu}^aF_{\mu\nu}^a \approx \frac{4}{g^2a^4}\left(1-\frac12\mathrm{Tr}\,U_{\mu\nu}\right). \]
Wilson 作用量
Euclidean Wilson action： \[
S_W=\beta\sum_{n}\sum_{\mu<\nu}
\left(1-\frac12\mathrm{Tr}\,U_{\mu\nu}(n)\right).
\]
- 在 4D（(g) 无量纲）常写 (=)（SU(2)）。
- 在 3D（2+1）(g^2) 有量纲，常定义无量纲 ()（系数依各文献约定）。
连续极限用上一段展开： \[ S_W \approx \beta\sum_{n,\mu<\nu}\frac{g^2a^4}{4}F_{\mu\nu}^aF_{\mu\nu}^a \approx \int d^3x \frac14F_{\mu\nu}^aF_{\mu\nu}^a \] （选择 () 与 (g,a) 的关系使前因子匹配）。
结论：Wilson action 是把连续 (14F^2) 用 plaquette 的迹离散化的结果。
Hamiltonian 格点理论：Kogut–Susskind（KS）哈密顿量
时间连续、空间离散的设定
paper 使用的是 Hamiltonian LGT：时间连续、空间离散。此时 link
只在空间方向 (i) 上（2+1 维：(i=x,y)）。每个空间 link (=(n,i)) 赋 \[
U_i(n)\in SU(2).
\] 与连续关系仍为路径指数（沿空间边）。
经典相空间变量：((U,E))
每条空间 link 还需要动量变量（电场）： \[
E_i^a(n) \in \mathfrak{su}(2).
\] 直观上：(U) 是“坐标”，(E)
是“共轭动量”。在格点上它们不是重复变量，而是相空间的一对。
从 Wilson action 到 KS Hamiltonian 的关键逻辑
严格推导通常用 transfer matrix（把 Euclidean
时间方向的格点当作演化步），并取时间格距 (a_t) 得到连续时间
Hamiltonian。结构结论是：
- 时间样板元（含 (U_0)）在 (a_t) 极限给出电能项 (E^2)；
- 纯空间板元给出磁能项 (-U_)。
最终 KS 形式（2+1 维）： \[ \boxed{ H =\frac{g^2}{2a}\sum_{\text{spatial links }\ell} E_\ell^aE_\ell^a +\frac{2}{g^2a}\sum_{\text{plaquettes }\square}\left(1-\frac12\mathrm{Tr}U_\square\right). } \] 丢掉常数 ()（能量整体平移）后： \[ H \doteq \frac{g^2}{2a}\sum_\ell E_\ell^2 -\frac{1}{g^2a}\sum_\square \mathrm{Tr}U_\square. \] 若取 (a=1)，并定义 \[ \square_2(n)\equiv \frac12\mathrm{Tr}U_\square(n), \] paper 常用形式 \[ H=\frac{g^2}{2}\sum_{\text{links}}(E_i^a)^2-\frac{2}{g^2}\sum_n \square_2(n),\qquad \square_2(n)\equiv \frac12\mathrm{Tr}\,U_\square(n). \] 其中 (=(n,i)) 表示一条从格点 (n) 指向 (n+i) 的有向 link（(i=x,y)），并且每条 link 上的规范变量是 (USU(2))。
为什么出现 (E_L) 与 (E_R)：一条 link
的两端信息
((E_ia)2) 的含义是对每条 link 的电场算符取 SU(2) 指标平方：
\[
E_\ell^2\equiv \sum_{a=1}^3 (E_\ell^a)^2.
\] 在 (U)-表象（(=({U_}))）中，电场不是数，而是生成 link
变量左右乘的微分算符。对单条 link 变量 (U) 定义 \[
(E_{L}^a\psi)(U)\equiv
-i\left.\frac{d}{dt}\psi(e^{-itT^a}U)\right|_{t=0},\qquad
(E_{R}^a\psi)(U)\equiv
-i\left.\frac{d}{dt}\psi(Ue^{itT^a})\right|_{t=0}.
\] 它们分别生成 (Ue{-itTa}U)（从 link
起点端的左乘变化）与 (UUe{itTa})（从 link
终点端的右乘变化）。(,E_L) 与 (E_R) 并非两套独立自由度：利用恒等式 \[
Ue^{itT^a}=e^{it(UT^aU^{-1})}U
\] 可知右乘等价于沿左乘方向但把生成元共轭旋转，因此 (E_R) 与
(E_L) 通过 adjoint 作用 (U(X)=UXU^{-1})
相互确定（整体符号取决于右生成元的约定）： \[
E_R^a=\pm(\mathrm{Ad}_{U^{-1}})^{ab}E_L^b.
\] 由于 (USO(3)) 为正交变换，Casimir 不变，所以在同一条 link
上 \[
\sum_a(E_L^a)^2=\sum_a(E_R^a)^2,
\] 从而哈密顿量电能项里写的 ((E_ia)2) 可以等价理解为
((E{L,i}a)2) 或
((E{R,i}a)2)，并不需要同时引入两份。
相反，(,E_L,E_R) 的“端点信息”主要在 Gauss 约束（局域规范生成元）里显式出现：在顶点 (n) 处，出边贡献左电场，入边贡献右电场， \[ G^a(n)=\sum_{i}\Big(E_L^a(n,i)+E_R^a(n-\hat i,i)\Big), \] 物理态满足 (G^a(n)|)，这是连续 ((D_iE_i)^a=0) 的格点版本。
磁项由 plaquette 环路 \[ U_\square(n)=U_x(n)\,U_y(n+\hat x)\,U_x^\dagger(n+\hat y)\,U_y^\dagger(n) \] 给出，(2(n)=,U(n)) 是规范不变量；它在 electric basis 中一般不对角，会把不同 (j) 扇区耦合起来（因此后续矩阵元可用 CG/6j 组织）。
量子化：为什么 Hilbert 空间是 (L^2(SU(2)))，为什么 (E) 与 (U) 都成算符
单 link 的 Hilbert 空间
一条 link 的配置变量
(USU(2))。量子态在“群元素表象（U-representation）”里是函数 \[
\psi(U).
\] 为了使内积与概率解释成立，取 \[
\boxed{
\mathcal H_{\text{link}}=L^2(SU(2),dU),
}
\] 其中 (dU) 是 Haar 测度（群上左右不变的体积元），内积 \[
\langle \psi|\phi\rangle=\int_{SU(2)} dU\,\psi(U)^*\phi(U).
\]
(U) 作为算符：乘法算符
(U)
本身是自变量。量子理论里对应的坐标算符是“乘法算符”。更严格：对矩阵元函数
(U_{}) 定义 \[
(\widehat{U_{\alpha\beta}}\psi)(U)=U_{\alpha\beta}\,\psi(U).
\] 这是一条线性映射
(L2L2)，所以是算符。通常简写为“(U)”。
(E) 作为算符：群作用生成元的严格构造
定义左正则表示（左平移）： \[
(\mathsf L_g\psi)(U)=\psi(g^{-1}U).
\] Haar 测度左不变性保证 (L_g) 是幺正算符（保内积）。
取一参数子群 (g(t)=e{itTa})。幺正一参数群的生成元定义为 \[ (\hat E_L^a\psi)(U) \equiv -i\left.\frac{d}{dt}\psi(e^{-itT^a}U)\right|_{t=0}. \] 同理可定义右生成元 \[ (\hat E_R^a\psi)(U) \equiv -i\left.\frac{d}{dt}\psi(Ue^{itT^a})\right|_{t=0}. \] 它们是 (L^2(SU(2))) 上的（非有界）微分算符，定义在稠密子空间 (C(SU(2))L2) 上。
对易关系与 (E)–(U) 共轭结构
由于左/右正则表示对应 SU(2) 李代数，得到 \[
[\hat E_L^a,\hat E_L^b]=i\epsilon^{abc}\hat E_L^c,\qquad
[\hat E_R^a,\hat E_R^b]=i\epsilon^{abc}\hat E_R^c,\qquad
[\hat E_L^a,\hat E_R^b]=0.
\] 同时可验证它们对 (U) 的作用（用定义直接对
(Ue{-itTa}U) 微分）： \[
[\hat E_L^a,\hat U]=T^a\hat U,\qquad
[\hat E_R^a,\hat U]=-\hat U T^a.
\] 这就是格点上“(E) 与 (U) 共轭”的量子版本。
格点 Gauss 定律：物理子空间约束
局域规范变换在 Hilbert 空间上的实现
对每个格点 (n) 有局域变换 ((n)SU(2))。它在 Hilbert
空间上由幺正算符实现。对 link ((n,i))：左端（起点）由 (E_L)
生成，右端（终点）由 (E_R) 生成。
Gauss 算符与物理态条件
在格点 (n)，把所有从 (n) 出发的 link 的左电场，与所有进入 (n) 的 link
的右电场相加（符号约定可能有整体号差；关键是“出入通量差”）： \[
\boxed{
\hat G^a(n)=\sum_{i}
\Big(\hat E_L^a(n,i)+\hat E_R^a(n-\hat i,i)\Big).
}
\] 物理态满足（纯规范场） \[
\boxed{\hat G^a(n)\,|\Psi_{\text{phys}}\rangle=0,\quad \forall n,a.}
\] 含物质时右边为电荷密度算符 (^a(n))。
Electric basis：(|j m_L m_R) 的选取与性质
Peter–Weyl 定理与正交完备基
对紧致群 (SU(2))，(L^2(SU(2)))
可分解为所有不可约表示矩阵元的直和。基函数取为 \[
D^{(j)}_{m_Lm_R}(U),
\qquad j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,
\quad m_L,m_R=-j,\dots,j.
\] 常用归一化 \[
\langle j m_L m_R|j' m_L'
m_R'\rangle=\delta_{jj'}\delta_{m_Lm_L'}\delta_{m_Rm_R'}.
\] 在 (U)-表象里 \[
\boxed{
\langle U|j m_L m_R\rangle=\sqrt{2j+1}\,D^{(j)}_{m_Lm_R}(U).
}
\]
为什么电项对角：Casimir 本征值 (j(j+1))
定义 Casimir \[
\hat E_L^2\equiv\sum_a\hat E_L^a\hat E_L^a,\qquad
\hat E_R^2\equiv\sum_a\hat E_R^a\hat E_R^a.
\] 在 SU(2) 不可约表示 (j) 上，Casimir 取值是 (j(j+1))。因此
\[
\boxed{
\hat E_L^2|j m_L m_R\rangle=j(j+1)|j m_L m_R\rangle,
\qquad
\hat E_R^2|j m_L m_R\rangle=j(j+1)|j m_L m_R\rangle.
}
\] 这就是 paper 里说的“在 electric basis 中 ((E_ia)2)
是对角的，特征值 (j(j+1))”。
为什么磁项（plaquette）矩阵元会出现 6j
link 算符 (U) 在 electric basis 中会改变 (j)
注意 (U_{}) 本身就是 SU(2) 基本表示 (j=) 的矩阵元函数： \[
U_{\alpha\beta}(U)=D^{(1/2)}_{\alpha\beta}(U).
\] 因此 (U_{}) 作用在基函数上等价于“表示矩阵元乘积”： \[
U_{\alpha\beta}\,D^{(j)}_{m_Lm_R}(U).
\] 表示论告诉你张量积分解： \[
\frac12\otimes j=(j+\tfrac12)\oplus(j-\tfrac12).
\] 因此会有选择定则： \[
j'\in\left\{j-\tfrac12,\; j+\tfrac12\right\}.
\] 更具体的矩阵元可以写成 Clebsch–Gordan（或 Wigner
3j）系数的组合： \[
\langle j' m_L' m_R'|\hat U_{\alpha\beta}|j m_L m_R\rangle
\propto
C^{\,j' m_L'}_{\,j m_L,\; \frac12\alpha}\;
C^{\,j' m_R'}_{\,j m_R,\; \frac12\beta},
\] （常数因子由归一化决定）。
物理意义：电基底对角化 (E^2)，但 (U) 会把不同 (j) 扇区混合。
plaquette 是四条 link 的乘积并取迹
一个 plaquette 的磁算符（以 SU(2) 常用形式） \[
\hat U_\square=\hat U_1\hat U_2\hat U_3^\dagger\hat U_4^\dagger,\qquad
\square_2=\frac12\mathrm{Tr}\,\hat U_\square.
\] 它作用在四条 link 的张量积 Hilbert 空间上： \[
\mathcal H_{\square}=\mathcal H_{\ell_1}\otimes\mathcal
H_{\ell_2}\otimes\mathcal H_{\ell_3}\otimes\mathcal H_{\ell_4}.
\] 因此矩阵元是 \[
\langle \{j'\}|\square_2|\{j\}\rangle
=
\frac12\sum_{\alpha}
\left\langle \{j'\}\left|
(\hat U_1)_{\alpha_1\alpha_2}
(\hat U_2)_{\alpha_2\alpha_3}
(\hat U_3^\dagger)_{\alpha_3\alpha_4}
(\hat U_4^\dagger)_{\alpha_4\alpha_1}
\right|\{j\}\right\rangle,
\] 其中迹把内部基本表示指标闭合。
为什么出现 6j：耦合顺序重排（recoupling）
每条 link 的 Hilbert 空间在 electric basis 中用
(|j,m_L,m_R)（或等价的函数基
(D^{(j)}_{m_Lm_R}(U))）来标记。关键是：plaquette 磁项不是 (E^2)
那样的“只看某条 link 的 Casimir”，而是由四条 link 的 (U)
沿着小方格相乘并取迹得到 \[
\square_2(n)=\frac12\mathrm{Tr}\big(U_1U_2U_3^\dagger U_4^\dagger\big),
\] 它会把四条 link 的量子数耦合在一起。
为什么每个 (U) 都等价于“引入一个 (j=) 的角动量”？因为 (U_{}) 本身就是 SU(2) 基本表示（自旋 ()）的矩阵元函数： \[ U_{\alpha\beta}(U)=D^{(1/2)}_{\alpha\beta}(U), \] 所以在 electric basis 里算矩阵元时，本质上总会遇到“矩阵元乘积”的积分/投影，例如单 link 上 \[ \langle j' m_L' m_R'|\hat U_{\alpha\beta}|j m_L m_R\rangle \sim \int dU\; D^{(j')}(U)^*\,D^{(1/2)}_{\alpha\beta}(U)\,D^{(j)}(U), \] 这就是把一个自旋 (j) 通过与自旋 () 的张量积耦合到 (j') 的过程；它的选择定则正是 \[ \frac12\otimes j=(j+\tfrac12)\oplus(j-\tfrac12), \] 而对应系数就是 Clebsch–Gordan（或等价的 3j）系数。也就是说，“(U) 在 electric basis 中的矩阵元”天然就是一堆 CG/3j。
接下来考虑 plaquette：(U_1U_2U_3U_4) 意味着你要在四条 link 的张量积空间里连续作用四次“与 () 耦合”的操作，并且最后还要取迹，把这些基本表示指标 () 沿着回路全部收缩掉。这样做会强迫你在每个顶点处把来自两条相邻边的基本表示指标配对成 SU(2) 不变量（相当于在顶点处做一次“耦合/投影到 singlet”或在某个中间角动量通道上求和）。因此整个 plaquette 矩阵元最终会变成：许多 CG 的乘积 + 对某些“中间角动量标签”的求和。
问题是：当你把四条边的耦合过程写成 CG 的乘积时，你必须选择一个“耦合顺序”（耦合树）。例如同样是四个角动量 (j_1,j_2,j_3,j_4)，你可以先耦合 ((j_1,j_2)) 得到一个中间角动量 (k)，再把 ((k,j_3)) 耦合……；也可以先耦合 ((j_2,j_3)) 得到另一个中间角动量 (k')，再继续耦合。不同的耦合树对应不同的 CG 乘积结构，但它们描述的是同一个 SU(2) 不变量分解，因此必须可以互相转换：
- 耦合树 A：((j_1j_2)k)，再与 (j_3) 耦合……
- 耦合树 B：((j_2j_3)k')，再与 (j_1) 耦合……
把“用耦合树 A 写出的态”展开成“用耦合树 B 写出的态”，系数正是 Wigner 6j（更精确地说是 Racah/Wigner 的重耦合系数）： \[ |( (j_1j_2)k\,j_3 )J\rangle = \sum_{k'} (-1)^{\cdots}\sqrt{(2k+1)(2k'+1)} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & k\\ j_3 & J & k' \end{Bmatrix} |( j_1 (j_2j_3)k' )J\rangle, \] 这里 (J) 是最终总角动量（在 plaquette 的“迹/闭合”结构里常会固定成 (J=0) 或在某些通道上求和），而 (k,k') 就是你在不同耦合顺序下引入的“中间角动量量子数”。
因此，在计算 plaquette 算符的矩阵元时，你不可避免会做两类步骤：
- 用 CG/3j 把每次 (U) 的作用写成“(jj')”的耦合系数；
- 因为四条边在顶点处要收缩并保持整体 SU(2) 不变，你需要在不同的耦合树之间来回换基（把 CG 的乘积重新整理成对中间通道的求和）。这个“换耦合顺序”的换基矩阵元就是 6j。
所以最终结果的结构必然是：一堆 3j/CG 先出现；把它们按顶点收缩、把不同耦合树统一到同一套中间量子数后，3j 的乘积被整理成若干个 6j（通常还伴随一些 () 的维数因子和相位），因此矩阵元可以写成“6j 的组合”（乘积/线性组合 + 对中间通道求和）。这就是 paper 里那句话的严格含义：它不是说 plaquette 里“凭空冒出 6j”，而是说 plaquette 的作用本质是一个四角动量重耦合问题，而 SU(2) 的四角动量重耦合系数就是 6j。
截断 (jj_{})：有限维化与可对角化
单 link 的 Hilbert 空间原本无限维
因为 \[
j=0,\frac12,1,\frac32,\dots
\] 无穷多。对每个 (j)，态数为 ((2j+1)^2)（因为 (m_L,m_R) 各有
(2j+1) 种）。
截断后单 link 维数有限
限制 \[
0\le j\le j_{\max},
\] 则单 link 维数 \[
\boxed{
d_{\text{link}}(j_{\max})=\sum_{j\le j_{\max}}(2j+1)^2.
}
\] 例：(j_{}=1) 时 \[
d_{\text{link}}=1^2+2^2+3^2=14.
\]
全系统有限维矩阵与 ED
若系统有 (N_{}) 条 link，则未施加约束时总维数约为 \[
d_{\text{tot}}\sim d_{\text{link}}^{N_{\text{link}}},
\] 再施加 Gauss 约束投影到物理子空间后维数更小。
由于 (d_{}) 有限，哈密顿量 (H) 可表示为有限维矩阵（在某一基底上），从而可以做：
- exact diagonalization（精确数值对角化）
- 精确时间演化（谱分解或 Krylov 等）
这就是 paper 那句 “Truncation ... renders the total Hilbert space finite-dimensional and allows for exact numerical diagonalization.”
paper 那段话逐句对应的含义
原文：
The discretized KS Hamiltonian can be represented in the electric basis, which labels the state on each link by the SU(2) quantum numbers (|j m_L m_R).
解释：单 link Hilbert 空间是 (L^2(SU(2)))，选取 Peter–Weyl 基底 (|j m_L m_R)。
In this basis the electric energy ((E_ia)2) is diagonal with eigenvalues (j(j+1)).
解释：(E^2) 是 Casimir；在不可约表示 (j) 上本征值为 (j(j+1))。
The matrix elements of the plaquette operator may be expressed as a combination of Wigner-6j symbols.
解释：磁项 (U_) 在 electric basis 下需要处理四条 link 的角动量耦合/重耦合；recoupling 系数用 6j 表示。
Truncation ... to (0jj_{}) ... allows for exact numerical diagonalization.
解释：截断表示集合使 Hilbert 空间有限维，从而可把 (H) 写成有限矩阵并对角化。
你可能随时会用到的最小公式表
link 变量与规范变换 \[ U_i(n)\to \Omega(n)U_i(n)\Omega^\dagger(n+\hat i). \]
plaquette 与规范不变量 \[ U_\square(n)=U_x(n)U_y(n+\hat x)U_x^\dagger(n+\hat y)U_y^\dagger(n),\quad \square_2=\frac12\mathrm{Tr}U_\square. \]
KS Hamiltonian（取 (a=1)） \[ H=\frac{g^2}{2}\sum_{\ell}E_\ell^2-\frac{2}{g^2}\sum_n\square_2(n)\quad (\text{差一个常数}). \]
Hilbert 空间与算符实现 \[ \mathcal H_{\text{link}}=L^2(SU(2),dU),\quad (\hat U_{\alpha\beta}\psi)(U)=U_{\alpha\beta}\psi(U), \]
\[ (\hat E_L^a\psi)(U)=-i\left.\frac{d}{dt}\psi(e^{-itT^a}U)\right|_{0},\quad (\hat E_R^a\psi)(U)=-i\left.\frac{d}{dt}\psi(Ue^{itT^a})\right|_{0}. \]
electric basis 与 Casimir \[ \langle U|j m_L m_R\rangle=\sqrt{2j+1}\,D^{(j)}_{m_Lm_R}(U), \quad \hat E^2|j m_L m_R\rangle=j(j+1)|j m_L m_R\rangle. \]
截断后的单 link 维数 \[ d_{\text{link}}(j_{\max})=\sum_{j\le j_{\max}}(2j+1)^2. \]