宇宙学课程笔记

发表于 2024-06-12 更新于 2025-02-22 分类于宇宙学，课程笔记

是上宇宙学课的时候记得笔记，不太全，后面如果能补全最好了

宇宙学发展简史

宇宙学的研究内容

时间与空间: 1.几何结构\(\to\) 平直/弯曲有限/无限 2.宇宙是静态的or 在演化，演化过程
宇宙介质:
1. 物质(可见：光子，重子物质；不可见：暗物质)
2. 这些物质在整个宇宙中的比例，如何影响宇宙的演化。
3. 暗能量应该如何发现，所占的比例，如何影响宇宙的演化。
4. 物质，能量的占比是否随着时间演化，在空间中如何分布。
5. 宇宙的物质形式是否变化，恒星与星系如何形成。

宇宙学的特殊性质

研究对象，宇宙只有一个，只能依靠观测和计算机模拟。
我们在宇宙中的位置固定。
宇宙演化过程复杂，牵扯知识广泛。

宇宙学和天体物理，天文学的关系

天文学包含宇宙学和天体物理
天体物理研究单个或者少量的天体，星系
宇宙学研究整个宇宙的行为

宇宙学简史

初期阶段（健康发展1915-1930）

1915 Einstein GR

1918 Einstein 提出第一个宇宙学模型（Einstein 模型）.
1. 宇宙看作充满全空间的均匀介质。
2. 宇宙整体上来看静态，引入宇宙学常数\(\Lambda\).
--观测方面

1920 天文学家发现宇宙膨胀，于是抛弃静态模型

1923 Slipher 观测十多个漩涡星云，首次发现光谱大部分都有红移现象，也就是星云在远离。同一时期，Hubble发现星云实际上是河外星系。(人们意识到宇宙是以星系分子组成的气体)

1929 Hubble定律提出，星系退行速度与距离成正比。 \(v\propto d\). Hubble 定律不仅说明宇宙在膨胀而是以保持宇宙均匀性的方式膨胀，方式为一。

--理论方面

1923 Friedmann 采用不含宇宙学常数的模型，发现宇宙在引力作用下可以膨胀，预言了Hubble 定律。
第二阶段（挫折阶段 1930-1960）

挫折原因:（Mpc是百万秒差距的意思）
1. Hubble 定律\(v=H_0d\), 由于\(H_0=500km/s/Mpc\), 宇宙年龄：\(\frac{1}{H_0}\sim 宇宙年龄\sim 20亿年\)。于是地球有40亿年。
  
  Friedmann模型的理论基础: 1.均匀性宇宙2.宇宙演化服从GR
2. 反推宇宙有初始时刻
1940 Gamov 提出宇宙演化论, 观点：一切物质形态都不是更古不变的。

\(\text{The Big Bang}\to\cdots\to 炙热气体\to 元素\to恒星\to星系\)

1950 理论预言10k 左右背景光谱

1950后期，\(H_0\sim 50-100km/s/Mpc\) 解决了宇宙年龄矛盾。

1965宇宙微波背景辐射被发现\(\to\) 重新重视Hubble-Friedmann-Gamov宇宙理论。
第三阶段（蓬勃发展1970-现在）

发现了：
1. 微波背景的各项异性
2. 宇宙在加速膨胀--暗能量
3. 发现引力波

宇宙结构

宇宙中的结构

宇宙里的结构按照尺度排列：恒星，星系，星系群（一半十几个星系），星系团，超星系团，宇宙长城，空洞

星系：大麦哲伦，本群，仙女座星系(与银河系大小相近的最近的星系,770kPC)

宇宙长城: BOSS Great Wall and Sloan Great Wall.(13.7亿光年)

星系团：室女座超星系团（本群所在星系团），发现他属于LANIZKEA super cluster 其中的结构

空洞：宇宙长城的带状结构中间的空隙，（他的尺度是 50MPC）
- 发现:
  
  1.大尺度均匀：在100MPC 尺度以上，宇宙可以看作是均匀的。这样一种均匀性的原理叫做宇宙学原理。
  
  2.其他波段：
  - 微波背景辐射（1950预言 10K CMB）
    
    观测： 4080MHZ 发现有3.5k 过剩天线温度。测量发现温度是各向同性，非极化，与季节无关。
    
    公证：从微波到红外都得相近微波背景辐射。
    
    确定：1989 COBE 卫星，测量三十多个波段的温度，测量得到\(T_{CMB}=2.725\pm 0.004\)
    
    意义：
    1. 各向同性CMB的存在支撑宇宙学原理。（各向异性\(\sim 10^{-5}K\)）
    2. 背景辐射谱和heated高度是一致的（说明光谱来自于宇宙早期，因为宇宙形成后，宇宙不再平衡）
  - 红外：主要用来探测年轻的星系
  - X射线：观测星系团中普遍不存在的高温气体。（温度很高，有一千万度）。90% 星系团高温气体不在星系中，在星系与星系的空隙之中。比如后发座星系团
  - 射电波：研究氢原子的分布(21cm谱线）
  - 其他辐射（相对论性的辐射，如粒子等等）
    - 如中微子 (与其他粒子相互作用非常弱)，来自于超新星爆发，可以被大型的探测设备检测到
    - 引力波
    - 宇宙射线
    - 未知的其他物质

共动坐标，哈勃定律，红移

共动坐标引入

爱因斯坦基本假设：宇宙是均匀的，静态的。

弗里德曼基本假设：物质分布是均匀的，各向同性的。

宇宙学原理：宇宙在大尺度上是均匀的且各向同性。（下面是宇宙学原理的支持实验）
1. 星系分布的大尺度结构在100MPC的尺度上是均匀的
2. CMB观测，早期宇宙(宇宙年龄37万年的时候，从大爆炸开始37万年)几乎是均匀且各向同性的。（有\(10^{-5}\)各项异性，可以和理论对比）
Q：一个不断膨胀变化的宇宙，如何保持宇宙学的原理。

A：宇宙中任何位置的相邻组元（星系或者其他）之间的距离需要按照相同的比例变化，变化的速率可以随时间变，但是需要对任意空间点相同。

于是可以建立一个相对于整个宇宙都静止的坐标系。比如说r，叫做物理坐标系。在这个坐标系下，宇宙组元之间的距离叫做物理距离。

当宇宙膨胀时候，组元之间的物理距离是发生变化的。但是由于宇宙原理，任意两组相邻组元间的距离之比始终是一定的。

因此，还可以引入一个随宇宙不断变化的一个坐标系（共动坐标系）。同一组元在共动坐标系中坐标值不变，比如说x

物理坐标与共动坐标值差一个只与时间t有关的因子。叫做尺度因子\(a(t)\). \[ r(t)=a(t)x \] \(a(t)\) 的值代表了t 时刻宇宙的大小。\(\dot{a}(t)\)代表宇宙演化的速率。

e.g. 举个例子，两个星系当前的距离是150MpC，在\(a=0.1\)时候，距离就是15Mpc. a的大小就可以用来宇宙时间的早晚。在接近大爆炸时，\(a\to 0\).

任何组元，观测都是一样的。是宇宙学原理的体现。

Note：真实的宇宙不是精确的满足宇宙学原理。
哈勃定律与宇宙膨胀的理解。

在物理坐标中, \[ v(t)=\frac{dr(t)}{dt}=\frac{\dot{a}}{a}(ax)=H(t)r(t) \] Hubble 定理，物理速度与物理距离成正比，比例系数\(H(t)\)称为哈勃参数。在\(t=t_0\)时，这个参数叫做哈勃常数。

宇宙膨胀的含义。
1. 不意味着身体会变大，应为有化学键
2. 星系之间，比如太阳和地球，引力占主导，不会收到影响。
3. 只有在100MpC以上时候，才会感受到宇宙膨胀效应。
本质原因：通常体系的物质密度远大于宇宙的平均物质密度。内部相互作用力远大于膨胀效应。

当半径很大时候，\(v=Hr\)可能大于光速，但是由于Hubble是空间本身的膨胀，于是不会破坏因果性。也不会违背狭义相对论。

星系间距不容易测量，红移容易测量，

考虑\(\lambda_e\)和\(\lambda_r\)分别是发出和接受到的波长。由于宇宙膨胀，\(\lambda_e\neq\lambda_r\). 定义： \[ \frac{\lambda_r}{\lambda_e}=1+z\quad z>0 \] 固有距离不变：(\(r=a(t)x\)), \[ \Delta x=c\int_{t_e}^{t_r}\frac{dt}{a(t)}=\int_{t_e+\frac{\lambda_e}{c}}^{t_r+\frac{\lambda_r}{c}}c\frac{dt}{a(t)} \]

\[ 0=\frac{\lambda_r}{a(t_r)}-\frac{\lambda_e}{a(t_e)} \]

\[ \frac{\lambda_r}{\lambda_e}=\frac{a(t_r)}{a(t_e)} \]

\[ z=\frac{1}{a(t)}-1\quad a(t_r)=1 \]

动力学方程

可以建立一个关于\(a(t)\) 和其他宇宙学变量之间的动力学方程。

这组方程一共有三个。1.Fridman 方程2.流体方程（守恒性方程）3. 物态方程

Fridman 方程

宇宙均匀，球对称分布的质量密度为\(\rho(t)\) 的宇宙介质。以球心为坐标原点建立坐标系。在r处有质点m。所以他所受到的引力完全来自于球壳内部的介质。（半径为r内的球内）。球外介质贡献为0。质点受到的引力势能是： \[ V=-\frac{GMm}{r}=-\frac{4}{3}\pi r^2G\rho m \] 质点的总能量： \[ U=T+V=\frac{1}{2}m\dot{r}^2-\frac{4}{3}\pi r^2G\rho m=Const \] 把\(r=a(t)x\) 带入，得到: \[ \frac{2U}{ma^2x^2}=(\frac{\dot{a}}{a})^2-\frac{8\pi G}{3}\rho \] 定义： \[ \frac{2U}{mx^2}=-kc^2 \] 得到F 方程: \[ H^2=(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2} \] 常数k的意义：

F方程的前两项不含x,与x无关。
\(k=-\frac{2U}{mc^2x^2}\)与t无关，k的量纲是\([长度]^{-2}\) 并且与x,t无关。是空间曲率。

k大于0，球空间，三角形内角和大于180，圆周长小于\(2\pi r\) 宇宙类型是封闭。

k等于0，平空间，三角形内角和等于180，圆周长等于\(2\pi r\) 宇宙类型是平坦。

k小于0，双曲空间，三角形内角和小雨180，圆周长大于\(2\pi r\) 宇宙类型是开放。

对F方程的讨论。

F方程给出了\(H(t)\), \(\rho(t)\) 和曲率k三者的关系。对当前\(t=t_0\), \(a(t_0)=1\)时。

\[ H_0^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_0-kc^2 \]

如果: \[ \rho(t)=\rho_c(t)=\frac{3H^2}{8\pi G} \] 则\(k=0\)。

\(\rho_c\) 称为临界密度（critical），如果\(\rho(t)>\rho_c(t)\), k>0. 反之k<0。

t可以是任意时刻，对于当前\(t_0\), \(\rho_c(t_0)=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\).

\(H_0=100h\; km/s/Mpc\) 其中 h 是一个待测的数值。

\(1Mpc=3.0869\times 10^{22}m\), \(G=6.67\times 10^{11}m^3/kg/s\) Mpc 中的 M 指 million 百万。pc 指parasec, 秒差距。

临界密度是 \(\rho_c(t_0)=1.88h^2\times 10^{-26}kg/m^3\)

考虑到太阳的质量 \(M_\circ=2\times 10^{30}kg\)

\(\rho_c(t_0)=2.78 h^2\times 10^{11}M_\circ/Mpc^3\)

宇宙的实际密度与\(\rho_c(t_0)\)差不多。

\(\rho_c(t)\)相当于200L的水里游一个质子。

k 测量结果大致是0.7。
F 方程的另一种写法。 \[ \frac{\rho}{\rho_c}-\frac{kc^2}{a^2H^2}=1 \] 方程左边两项都和时间相关，（介质密度参数+曲率密度参数=1）(\(\Omega+\Omega_k=1\)) \(\Omega=\sum_i\Omega_i\).

大体上说宇宙介质可以分为三类：
1. 非相对论物质，静能>（远大于）势能。
2. 相对论物质，静能<（远小于）动能。光子，中微子，宇宙早期高温下的重粒子。
3. 暗能量，\(\rho_\Lambda\), 密度参数用\(\Omega_\Lambda\), 具有负压强，能使宇宙加速膨胀。本性尚不明确。

#### 流体方程

两点考虑

在绝热膨胀成立的尺度上选取任意大小的体积，则净流入和流出该体积的热能必须为0。
能量守恒 \[ dE=dQ-pdV=-pdV \]

考虑一个单位半径的球体，物理体积： \[ V=\frac{4}{3}\pi(ax)^3=\frac{4}{3}\pi a^3 \] 总质量：\(m=\rho V\), 总能量: \(E=mc^2=\frac{4}{3}\pi a^3\rho c^2\).

该体积内宇宙介质在膨胀过程中满足热力学第一定律。(绝热过程) \[ dE=TdS-pdV=-pdV \]

\[ \frac{dE}{dt}=\frac{4\pi}{3}(3a^2\frac{da}{dt}\rho c^2+a^3\frac{d\rho}{dt}c^2) \]

\[ \frac{dV}{dt}=4\pi a^2\frac{da}{dt} \]

带入得到: \[ \dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+\frac{p}{c^2})=0 \] --导致宇宙介质能量变化的原因：

宇宙膨胀导致密度降低(括号中的第一项)
体积膨胀，介质通过压强对外做功(括号中的第二项)

--由于宇宙学原理，宇宙各处压强相等。(\(p=p(t)\)不是x 的函数，不存在压力，因为压强的梯度等于零)

--目前已经有了两个方程: \[ H^2=(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2} \]

\[ \dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+\frac{p}{c^2})=0 \]

得到: \[ \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4}{3}\pi G(\rho+\frac{3p}{c^2}) \] 由于\(\rho>0\), \(p>0\), 理论上宇宙减速膨胀，于是要引入暗物质，导致\(p<0\)。

物态方程以及宇宙介质的分类

物态方程是关于\(p=p(\rho)\). 宇宙学大多数时候考虑最简单的物态方程\(p=w\rho c^2\) (0: 非相对论物质，无压物质，尘埃。\(\frac{1}{3}\)辐射，相对论物质。\(-1\)真空能或者宇宙学常数)

将以上假设带入流体方程: \[ \frac{\dot{\rho}}{\rho}=-3(1+w)\frac{\dot{a}}{a}\to\rho(a)\propto a^{-3(1+w)} \] 当得到的\(\rho(a)\)的关系带入Friedmann方程可以解出\(a(t)\).

宇宙介质

宇宙介质可以分为三类，\(p=\omega \rho c^2\)

\(w=0\) 代表无压物质/非相对论物质/尘埃物质， \(w=1/3\)代表辐射，\(w=-1\) 代表宇宙学常数物质

现在主要介绍宇宙介质的相关知识。

非相对论物质

代表：重子物质

\(宇宙\leftarrow 原子\leftarrow 核子(质子938.3MeV，中子989.6MeV)\leftarrow 夸克\)。

夸克有六种(u,d,s,c,b,t) p=uud, n=udd 。由三个夸克构成的粒子叫做重子。（构成的物质叫做重子物质）。所有重子中只有质子和中子是稳定的。单个中子是不稳定的。原子核内的中子是稳定的。宇宙学中电子也叫做重子物质。

特征温度 \[ \begin{aligned} mc^2&=k_BT\\ k_B&=1.381\times 10^{-23}J/K\\ &=8.619\times 10^{-5}eV/K \end{aligned} \] 当实际温度远远小于特征温度时候，粒子是非相对论性的。

重子物质的比例：4/3 H, 1/4 He,其他元素占据的比较少。
辐射

广义辐射指所有相对论性介质(重子物质在早期也视为辐射)。当前宇宙中的辐射：光子，正反中微子(\(\nu\;\;\bar{\nu}\))
- 光子： \[ m_\gamma=0\quad E=hf=\hbar w=pc \] 假设有一盒光子气体，处于平衡态，平衡温度是T。能量密度是 \[ \epsilon(f)df=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{f^3}{e^{hf/k_BT}-1}df \] 数密度 \[ n(f)df=\frac{\epsilon(f)df}{hf} \]
  
  \[ x=\frac{hf}{k_BT} \]
  
  \(f_{n-peak}=2.81k_BT\).
  
  光子能量密度： \[ \epsilon_\gamma=\int\epsilon(f)df=\alpha T^4 \] 光子数密度: \[ n_\gamma=\beta T^3 \] 其中: \[ \alpha=\frac{8\pi k_B^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4}{15}=7.565\times 10^{-16}Jm^{-3}k^{-4} \]
  
  \[ \beta=2.029\times 10^{7}m^{-3}K^{-3} \]
  
  一个光子的平均能量: \[ E_{mean}=\frac{E_{total}}{N}=\frac{\epsilon_r V}{nV}=\frac{\epsilon_r}{n}=2.7k_BT \]
- 宇宙微波背景辐射
  
  当前 \[ C_{CMB}=2.7224\pm0.0006K \] 能量密度： \[ \epsilon_{CMB}=0.2606\;MeV/m^3 \] 质量密度: \[ \rho_{CMB}=4.639\times 10^{-31}Kg/m^3 \] 密度参数: \[ \Omega_{CMB}=\frac{\rho_{CMB,0}}{\rho_{c,0}}\approx 2.47\times 10^{-5}h^{-2} \] Q: CMB的光子和星光的能量谁多。
  
  A: 当前星系的亮度密度 \[ \Psi=1.7\times 10^8\;L_\circ/Mpc^3\approx 2.2\times 10^{-33}Watt/m^3 \] 相当于在一个半径为1AU的球内总共30瓦的灯。(1AU是一个天文距离是149,597,870,700m)
  
  设所有星系从宇宙之初开始 \[ \epsilon_{starlight}=0.006MeV/m^3 \] 大约是\(\epsilon_{CMB}\)的\(2.3\%\)
  
  数密度: \[ n_{CMB}=411个/{cm^3} \] 平均能量 \[ E_{mean}=2.7k_BT=6.344\times 10^{-4}eV \] 频率: \[ f=\frac{E_{mean}}{h}=1.534\times 10^{11}Hz\quad \lambda=2mm\;\text{属于微波} \]

中微子

中微子\(\nu\)。中微子\(\nu\) 是粒子数仅次于\(\gamma\) 的另一种辐射。不放在一起是因为有点长

.1简史

上个世纪初，\(\beta\)衰变 \[ ^{A}_{Z}X\to ^{A}_{Z+1}Y+e^{-} \] 通过能量守恒，发现： \[ E_e=\sqrt{m_e^2+p_e^2}=\frac{m_X^2-m_p^2+m_e^2}{2m_X} \] 是一个固定值，但是实际发现，电子的能量测量得到是一个范围：\([0,E_e]\)。于是认为还有一个中微子。刚开始是叫做Neutron,。后来Fermi把它叫做Neutrino。

中微子和物质的相互作用非常的弱，难以探测到。

质疑

1950，Cowan 和Reines用核反应产生大量的\(\bar{\nu}\).用两百升的大水箱作为质子靶标来发生 \[ p+\bar{\nu}\to n+e^{+} \] 产生的正电子和负电子发生湮灭，发出光子。给出了首个中微子存在的证据。

中微子的产生速率： \[ 10^{13}\text{ 个}/cm^2/s \] 但是正电子的产生速率是 \[ 2\sim3\text{ 个}/小时 \]
1962年，Lederman, Schwartz, Steinberger 在Brookhaven 实验室用\(\pi^-\)粒子产生的反中微子作为源。有反应： \[ \bar{\nu}+p^+\to n+\mu^+ \] 其中\(\mu\)子在很多方面和电子有很多相似性。

也应该能看到反应: \[ \bar{\nu}+p^+\to n+e^+ \] 但是下面的反应没有发生，于是有两种中微子: \[ \nu_e\quad \nu_\mu \]
1970 年 Perl 发现一种新的电子和\(\mu\) 子相似的粒子，叫做\(\tau\)子。于是认为可能有\(\nu_\tau\)
2000 Donut 和 Fermilab 发现了这个粒子

粒子\(e\mu\tau\;\;\nu_e\;\nu_\tau\;\nu_\mu\) 这些粒子和它们的反粒子统称为轻子。

Q：有无更多的轻子？

1989年，在LEP，通过测量z 玻色子的衰变发现结论: 只产生了三个轻子。

实验不排除一些情况。

1.第四代中微子>\(\frac{m_Z}{2}\)。

2.可能存在不参与弱相互作用的中微子。

.2 中微子振荡

1920年爱丁顿注意到 4个H 比一个He 重，说明有可能氢原子聚变成He，这个过程会放出能量。

1938年，Hans Bethe 研究了太阳聚变的一些细节。发现在太阳这种H的恒星重是以PP链的方式发生反应。

PP 链主要有四个步骤。

2p反映成氚。
氘和P反应成氦3
氦3和质子反应生成氦4
氦4和Li反应生成Be，B。

1968 Ray Davis 利用巨型的氯罐在一个矿井下面探测太阳中微子。应该有这样的反应： \[ \nu_e+Cl\to Ar+ e^- \] 经过几个月的收集，发现大约每两天能够产生一个Ar原子。Ar 原子的个数可以和标准的太阳的模型相互验证。

收集到的Ar是理论预言的 \(\frac{1}{3}\).

Bruno Pontecorov给出了太阳中微子的理论解释。在传播过程中，中微子的味道发生了变化。电子中微子变成了\(\mu\)中微子，这种味道会发生的连续变化叫做中微子振荡。原因： \[ |\Psi(t)\rangle=e^{-iEt/\hbar}|\Psi(0)\rangle \] 初态是不同能量本征态的线性叠加。能量本征态随着时间的变化如上面所示，所以最后得到的态是随着时间震荡的。

一个电子中微子演化t时间后变化为\(\mu\)中微子的概率 \[ P=[sin(2\theta)\sin(\frac{E_e-E_\nu}{2}t)]^2 \] 中微子的质量不可能全为零。 \[ E_i=pc(1+\frac{1}{2}\frac{m_i^2c^2}{p^2}) \]

\[ P=[sin(2\theta)\sin(\frac{\Delta m^2 L c^2}{4E})]^2 \]

续：宇宙中微子

宇宙中可能有与CMB类似的C\(\nu\)B, 理论预言：\(T_{C\nu B,0}=1.96K, n_{C\nu B,0}=336/cm^3 (c_{CMB,0}=411/cm^3)\) 若 \(m_{\nu}=0 \Rightarrow \Omega_{C\nu B,0}=0.681\Omega_{CMB,0}\) 当前 \(\Omega_{rad,0}=\Omega_{CMB,0}+\Omega_{CMB,0}=4.15\cdot 10^{-5}h^{-2}\ll 1\) 对C \(\nu\) B直接观测：PTOLEMY, 国内有江门、上交的海铃计划

第8讲开头

加速or减速？减速因子 \(q=-\frac{\ddot{a}a}{\dot{a}^2}=-\frac{\ddot{a}}{aH^2}\) 1990年代，由Perlmutter超新星宇宙学项目(SCP)和由Schmidt和Riess High-Z Supernova Search team对大量（几十个）的Ia型超新星（简写为SNIa，这里是罗马数字I）的红移和光通量测量，发现 \(q_{0}<0\)，即 \(\ddot{a}>0\) 的证据其他独立观测（CMB,星系形成）\(\Rightarrow\) 有某种 \(p<0\) 的组份 2011，诺奖 How & Why SNIa \(\Rightarrow\) DE?

8.1 SN1a与光度距离

根据光谱中有无氯吸收线 \(\Rightarrow\) I型（无），II型（有） I型中有两类（？）Ia型 \(\Rightarrow\) 爆发机制（白矮星吸积其伴星上的物质，当其自身质量达到钱德拉塞卡极限 \(M \sim 1.44M_\odot\) 后 \(\rightarrow\) 爆炸，炸后不形成BH、中子星） SNIa 非常亮，峰值光度（单位时间发出的能量）\(L\approx (3\sim 5)\times 10^{9}L_{\odot}\)，在 \(z\sim 1\) 也能看到 \(\Rightarrow\) 光度大致相同，可作为光度已知的天体，称为标准烛光，从而得到距离光学：已知光度 \(L\), 在距离 \(d\) 处测光通量（单位时间单位面积接收的光能）\(F=\frac{L}{4\pi d^2}\)，因此，知道 \(L\) +测出 \(F\) 就可以知道 \(d\). （Note: 这里没有考虑朝向）光速有限，光发出到接收需要时间，这段时间内宇宙会膨胀，因此通过 \(d_{L}^2=\frac{L}{4\pi F}\) 推出的距离称为光度距离 \(\neq\) 物理距离

8.2 光度距离与物理距离的关系

Recall 共动距离是不变的，光在 \(dt\) 时间内走过的共动距离为 \(dx=c \cdot \frac{dt}{a(t)}\) 设SNIa在 \(t_{e}\) 和 \(t_{e}+\frac{\lambda e}{c}\) 时刻发出光子，地球上接收时间为 \(t_{r}\) 和 \(t_{r}+\frac{\lambda r}{c}\),有 \[ \int^{t_{e}+\frac{\lambda e}{c}}_{t_{e}} \frac{dt}{a(t)}= \int^{t_{r}+\frac{\lambda r}{c}}_{t_{r}} \frac{dt}{a(t)} \]

\[ \frac{\lambda e}{a(t_{e})}=\frac{\lambda r}{a(t_{r})} \Rightarrow \frac{\lambda r}{\lambda e}=\frac{a(t_{r})}{a(t_{e})}=1+z \]

\[ t_{r}=t_{0}, a(t_{0})=1 \Rightarrow \frac{1}{a(t)}=1+z \]

膨胀 \(a(t_{r})>a(t_{e})\Rightarrow z>0\)，SN发出的光波长变长，\(\lambda_{r}=(1+z)\lambda_{e}\Rightarrow E_{r}=(1+z)^{-1}E_e\) 变小，频率 \(f_{r}=f_{e}(1+z)^{-1}\) 变小，导致光通量不同于宇宙静止时。设SNIa在 \(t_{e}\sim t_{e}+\Delta t_{e}\) 各向同性，发出N个频率 \(f_{e}\) 的光子，光度为 \(L=\frac{Nhf_{e}}{\Delta t_{e}}\). 设我们再 \(t_{0}\) 时收到这些光子，SN与我们的物理距离为 \(r\), 收到的光通量 \(F=\frac{Nhf_{r}}{4\pi r^2\Delta t_{r}}\)，膨胀 \(\Rightarrow f_{r}=f_{e}(1+z)^{-1}\) 变小，\(\Delta t_{r}=\Delta t_{e}(1+z)\) 变长，从而 \[ \frac{L}{F}=4\pi r^2(1+z)^2=4\pi d_{L}^2 \Leftarrow d_{L}=r(1+z) \] 在当前时刻，\(r=x=c\int _{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)}, r(t_{e})\rightarrow r(z)\), 由关系 \(z=\frac{1}{a}-1\Rightarrow \frac{dz}{dt}=-\frac{\dot{a}}{a^2}\Rightarrow \frac{dt}{a(t)}=-\frac{dz}{H}, r(t_{e})\rightarrow r(z)=\int _{0}^z \frac{cdz}{H(z)}\) 出发点：F方程 \[ H^2=\frac{8\pi G}{3}(\rho_{mat}+\rho_{rad}+\rho_{\Lambda})-\frac{kc^2}{a^2}, \] 由于 \(\rho_{mat}=\rho_{mat,0}\cdot a^{-3}, \rho_{rad}=\rho_{rad,0}\cdot a^{-4}, \rho_{\Lambda}=const, a=(1+z)^{-1}\)，有 \[ \begin{aligned} H^2&=H_{0}^2 \frac{8\pi G}{3H_{0}^2}[\rho_{mat,0}(1+z)^3+\rho_{rad,0}(1+z)^4+\rho_{\Lambda}+\rho_{K}(1+z)^2]\\ &=H_{0}^2[\Omega_{mat,0}(1+z)^3+\Omega_{rad,0}(1+z)^4+\Omega_{\Lambda,0}+\Omega_{K,0}(1+z)^2] \end{aligned} \] 对SNIa， \[z\sim 1,\quad \Omega_{rad,0},\Omega_{K,0}\ll 1 \Rightarrow \Omega_{mat,0}+\Omega_{\Lambda,0}\approx 1 \Rightarrow \frac{d_{L}H_{0}}{c}=\int _{0}^z \frac{dz'}{[(1-\Omega_{\Lambda,0})(1+z')^3+\Omega_{\Lambda,0}]^{1/2}}\] +附图1

测试2第一题

8.3 DE的其他性质

\(t_{0}\) 时，F方程的另一种写法 \[ \Omega_{mat,0}+\Omega_{rad,0}+\Omega_{\Lambda,0}+\Omega_{K,0}=1 \] 认为 \(\Omega_{rad}\approx 0\), 以 \(\Omega_{mat,0},\Omega_{\Lambda,0}\) 为变量构造一个二维平面参数空间，存在几条分界线+附图2

当 \(\Omega_{K,0}=0\) 时，\(\Omega_{\Lambda,0}=1-\Omega_{mat,0}\)，线下方 \(\Omega_{mat,0}+\Omega_{\Lambda,0}<1, \Omega_{K,0}>0, \Omega_{K}\equiv -\frac{kc^2}{a^2H^2}\Rightarrow K<0\)
F方程两边同乘 \(a^2\rightarrow \dot{a}^2=\frac{8\pi G}{3}a^2[\rho_{mat}+\rho_{rad}+\rho_{\Lambda}]-Kc^2\)，求 \(t\) 的导数，代入 \(\dot{\rho}_{mat}=-\frac{3\dot{a}}{a}\rho_{mat}, \dot{\rho}_{rad}=-\frac{4\dot{a}}{a}\rho_{rad},\dot{\rho}_{\Lambda}=0\)，整理后有 (\(q=-\frac{\ddot{a}}{a}\frac{1}{H^2}\)) \[q=-\Omega_{\Lambda}+\frac{\Omega_{mat}}{2}+\Omega_{rad}\] 当前 \(\Omega_{rad,0}\approx 0\Rightarrow q_{0}=\frac{\Omega_{mat,0}}{2}-\Omega_{\Lambda,0}\)

测试2第一题
另两类分类（仅了解）\(\Rightarrow \Omega_{mat,0}\approx 0.3, \Omega_{\Lambda,0}\approx 0.7\) 结论：
空间曲率k近似为0
当前宇宙在做加速膨胀, \(q_{0}=\frac{0.3}{2}-0.7\approx -0.55\)
有BB（Big Bang?），持续膨胀下去 \(\Lambda CDM\) 模型

第九讲暗物质简介

9.1可见重子物质

太阳，V 波段 \(\lambda\in[500,590]\) nm. 在这个波段中，光度，单位时间中辐射出的能量 \[ L_{\circ,V}\approx 0.12 \times L_\circ =4.6\times 10^{25} Watts \] 太阳的质光比: 定义为太阳的质量除以太阳的辐射能量=\(\frac{1M_\circ}{1L_{\circ,V}}=43 吨/Watts\)

恒星的质光比不完全相同。

恒星分为三种巨星，主序星，矮星按照质量从小到大，可以分成 M,K,G,F。

M质量大约是0.1个太阳质量，\(L_V\approx 5\times 10^{-5}L_{\circ V}\) ，他的质光比是太阳的2000倍。

O 型大约是 60个太阳质量， \(L_V\approx 2\times 10^{4}L_{\circ V}\)，他的质光比是太阳的0.003倍。

如果质量小于0.08个太阳质量，存在一些球状的天体，可以视为是气状的球。它们基本上不发光，很难通过这种光的方法来观察他，比如说赫尔星。

一般来说一个星系中，产生的行星中各种行星的产生率的比率确定，产生O星与M星的比例是250:1 。并且O星的寿命是比较短的。比如说时间久了它就会以二型超星星爆发的形式消失了。

在年轻的星系中\(\frac{M}{L_V}\approx 0.3 \frac{M_\circ}{L_{\circ,V}}\)。对于成年一些的星系，他的质光比大约是\(8\frac{M_\circ}{L_{\circ,V}}\)。平均下来，一般认为恒星的质光比是\(4\frac{M_\circ}{L_{\circ,V}}\)

星系的平均光度密度 \[ \Psi=1.1\times 10^8 L_{\circ,V}/Mpc^3 \] 可以算出恒星物质的质量密度: \[ \rho_{*}=<\frac{M}{L_V}>\Psi_V\approx 4\times 10^8 \frac{M_\circ}{Mpc^3} \] 按照这个质量密度 \[ \Omega_{*,O}\approx 0.003 \] 于是他只贡献重子物质的0.01。

除了恒星，重子物质还可以以其他形式存在，比如星际气体。比如说M31中，星际气体为恒星质量的20 %。在麦哲伦星云中，星际气体的占比更高。

星系间气体： Coma Cluster \(\sim\) 100Mpc。

最亮的星系是 \[ L_V\approx 2.5\times 10^{11}L_{\circ,V} \] 他是远大于其他星系的，星系的总的光度是： \[ L_{Comma,V}=5\times 10^{12}L_{\circ,V} \] 于是 \[ M_{comma,*}\approx 2\times 10^{13}M_\circ \] 而X射线法，大量高温气体，\(T\sim 10^8k\), \(E\sim 9KeV\). 用流体静力学的方法算出质量。 \[ M_{comma,gas}\sim 2\times 10^{14} M_\circ \] 不可见的重子物质，可以用引力透镜的方法测量。星际气体和cluster之外的空洞，..这种不可见的重子物质占比是更多的。

9.2 星系中的暗物质

一个例子：研究漩涡星系的旋转曲线。有扁平的星盘。恒星是绕着中心旋转的。

一般来讲，向心加速度： \[ a=\frac{v^2}{R}=\frac{GM}{R^2} \] 于是可以算出质量M。 \[ v=\sqrt{\frac{GM}{R}} \] 星盘上的亮度 \[ I(R)=I(0)e^{-R/R_0} \] 特征半径， \(R_S\sim Kpc\)。当离星系中心很远的时候，可以认为\(M\) 就是一个常数了。就是说如果认为星系质量主要来自于恒星，那么气体大约是20%。于是理论预言: \[ v\sim \frac{1}{\sqrt{R}} \] 但是实际观测旋转曲线时候，\(4R_s<R<6R_s\)时， \(V(R)\sim 230km/s\)大约是一个常数。

于是认为星系中有暗物质，它们以暗晕的形式存在。比如说银河系中\(R_{halo}=15kpc\)。

星系团中也有暗物质。星系的径向速度有很大的disporsion。不同星系在径向的平均相对速度是\(880km/s\)。因为这个相对速度非常快，所以认为已知可见的星系和气体不足以使得星系聚集在这个comma cluster中。

考虑一个模型，有N个星系，质量是m，

动能： \[ K=\frac{1}{2}M<v^2> \] 势能: \[ W=-\alpha\frac{GM^2}{r_h} \] 其中的\(r_h\)叫做半质量半径。转动惯量: \[ I=\sum_i m_i |x_i|^2 \] 位力定理: \[ \ddot{I}=2W+4K \] 对于稳态 \[ K=-\frac{W}{2} \] 于是 \[ M=\frac{<v^2>r_h}{\alpha G} \] 计算得到\(<v^2>\sim 2.32 \times10^{12}m/s\)。假设沿着半径质量比是常数 \[ r_h=1.5Mpc \] 计算得到总质量\(M_{comma}=2\times 10^{15}M_\circ\)。于是可见物质只占有10%

可以定出重子物质占有的比例是当前宇宙的\(4\%\sim 5\%\)

9.4引力透镜

MACHO （大质量致密晕状天体）。褐矮星，冷白矮星，黑洞。

原理: MACHO 引力使得光线偏转。 \[ \alpha=\frac{4GM}{c^2b} \] 当观测别的天体时候，如果路径上有MACHO，那么，看到的是一个圆环，他的角半径： \[ \theta=(\frac{4GM}{c^2d}\frac{1-x}{x})^{1/2} \] d 代表地球到观测天体的距离。 xd 是地球到MACHO的距离。

如果没有在连线上，观测到的是一些弧。

但是MACHOS最多占有晕的8%, 别的就是暗物质。

11.17 宇宙学--暗物质II

课前提问

什么叫做星系旋转曲线，横坐标是什么，纵坐标是什么。

答：横坐标是R,纵坐标是v。星系有一些旋臂，上面有一些恒星，横坐标就是距离星系中心的半径R。纵坐标就是v。如果引力全部来自于发光物质，当半径大到一定程度，半径以内的物质质量就是常数，于是\(v\sim \frac{1}{\sqrt{R}}\)。这是认为只有发光物质。但是实际测量得到\(v\sim const\) 。这个事情说明不只有发光物质，就是暗物质。

另一种方法：

根据位力定理 \[ \ddot{I}=2W+4K \] 对于稳态， \[ K=-\frac{W}{2} \]

\[ W=-\alpha\frac{GM^2}{r_h} \]

\[ K=\frac{1}{2}M<v^2> \]

于是 \[ M=\frac{<v^2>r_h}{\alpha G} \] 测量得到总质量远大于可见物质的质量。

DM 的本质

问题：能不能通过修改引力理论来得到暗物质。

2006年 Clowe等人通过研究子弹星系团bullet cluster。得到了暗物质存在的最佳证据。（否定了修改引力）。

BUllet Cluster：通过两个星系团碰撞产生。每个星系团中有发光物质，高温气体，暗物质。

首先通过X射线望远镜，观察Bullet cluster中高温气体的分布。发现高温气体分布在两个区域。（两个中心）

回顾一下引力透镜，他的意义在于可以用来探测不发光的天体。

用引力透镜的方法，可以观察Bullet cluster中物质的分布。观测结果是分布和X射线观测得到的高温气体分布是不一样的。并且他们的质量比例是： \[ M_{星}:M_{气}:M_{总}=1:10:70 \] （根据图片--）蓝色的是暗物质，亮点是星系，红色是高温气体。

说明：
- 暗物质和其他重子物质相互作用非常弱。（如图，红色部分的重子物质相互作用比较大）
- 暗物质是真实存在的物质。
DM问题：很多研究表明宇宙中存在大量于其他物质相互作用很弱，从而很难被探测到或者看到的物质。这样的物质就是暗物质。问题是这些物质本质是什么。

需要注意的是暗物质并不一定只有一种。
暗物质的候选者。有已知存在的比如中微子\(\nu\)。大多数暗物质候选者是理论假设或者预言的。目前的主流观点大概可以分成两大类。
1. 基本粒子说：暗物质候选者都是一些相互作用很弱的基本粒子。
  1. 中微子。宇宙中中微子的粒子数密度大约是\(n_\nu=3.36\times 10^8\;m^{-3}\)。在标准模型中中微子是没有质量的，但是震荡现象说明\(m_\nu\neq 0\)。这个事情可以解释一部分暗物质。假设\(\nu\)构成了全部的暗物质。通过质量密度,要求\(\Omega{\nu,0}=\Omega_{dm,0}=0.262\). \[ \Omega_{\nu,0}=\frac{\rho_{\nu,0}}{\rho_{c,0}}=\frac{n_\nu\bar{m}_\nu}{\rho_{c,0}}=0.262 \] 于是 \[ \bar{m}_\nu c^2=0.262\times 4870MeV/m^3\frac{1}{3.36\times 10^8\;m^{-3}}=3.8eV \] 这种轻质量的中微子是属于热暗物质。（指在宇宙的某一个阶段是相对论性的）。
  存在的问题问题：不能解释宇宙大尺度结构的形成。要解释大尺度结构的形成，需要对热暗物质的上限有要求(hdm 是hot dark matter) \[ \Omega_{hdm}\leq 0.007 \] 相当于要求 \[ \bar{m}_\nu c^2\leq0.007\times 4870MeV/m^3\frac{1}{3.36\times 10^8\;m^{-3}}=0.1eV \] 这个也被称作是中微子质量上限。
  
  于是中微子只能解释一部分暗物质： \[ \frac{\Omega_{\nu,0}}{\Omega_{dm}}\approx \frac{\Omega_{hdm,0}}{\Omega_{dm,0}}<3\% \] 于是说要一些超出标准模型的理论。Beyond Standard Model
  1. 超对称，特点：把标准模型的基本粒子基本都复制了一份。比如说把光子对应于超对称伴子photon\(\to\)photino, 电子\(\to\) Selection 有一些最轻的超对称粒子，他们是稳定不衰变的lighest Supersymmetry Particle (LSP).他们是暗物质的候选者。
  LSP 是WIMP (Weak Interacting Massive Particles)。这些是指只参与引力和弱相互作用。和中微子类似。但是质量远高于中微子的质量上限0.1eV。
  
  但是至今是没有结果的。于是目标是另一种粒子（轴子Axion）。这种粒子有好处： \(m_{ax}\sim 10^{-5}eV\)。好处在于可以同时解决DM问题和强相互作用中的CP问题。轴子会修改Maxwell理论。在强电磁环境下，轴子会转化为微波频段的光子。实验上用超导高频腔探测。但是目前也没有发现。但是在CM里面，轴子可以作为某些特殊材料的准粒子态出现。（比如说强拓扑绝缘体Nature Reviews Physics 2, 2020, p 682）。
2. 致密天体说。MACHOs
  1. 原初黑洞：是在宇宙早期形成的黑洞。而不是通过恒星的死亡。可以是重子物质构成。需要早于核合成。(躲避\(\Omega_{B,0}\approx 0.05\)的限制)
  2. MACHOs

已经了解了当前宇宙中物质的组成和所占的比例。

宇宙年龄

通过F方程： \[ (\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_{tot} \] 其中 \[ \rho_{tot}=\rho_{mat,0}a^{-3}+\rho_{rad,0}a^{-4}+\rho_{\Lambda,0}+\rho_{K,0}a^{-2} \] 在方程的两端同时乘以\(\frac{a^2}{H_0^2}\) 于是 \(\rho_{c,0}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\) \[ \frac{da}{dt}=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}a^{-1}+\Omega_{rad,0}a^{-2}+\Omega_{\Lambda,0}a^{2}+\Omega_{K,0}} \] 考虑到 \[ \Omega_{rad,0},\Omega_{K,0}<<1,\;\;\Omega_{mat,0}\approx 1-\Omega_{\Lambda,0}\approx 0.31 \]

\[ \int_0^{t_0}dt=t_0\approx\int_0^1\frac{da}{H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}a^{-1}+(1-\Omega_{mat,0})a^2}} \]

对a积分得到： \[ t_0=\frac{0.955}{H_0}=0.955t_H \] 带入\(H_0=68km/s/Mpc\), 其中\(1Mpc=3.068\times 10^{22}m\)于是 \(t_H=144亿年\)，于是宇宙年龄： \[ t_0\approx137.4亿年 \] 地质学说: 地球年龄是50亿年。

核年代学：星系盘中的铀 100亿年。

古老球状星团： 100-130亿年

宇宙可观测半径

光速有限，\(t_0\)有限，可见宇宙也是有限的。粒子视界半径：指的是在\(t=0\)时，发出的光子在\(t_0\)时被接收到，这个时间段中光走过的物理距离。（固有距离）

光子在\(t_e\to t_r\)内走过的共动距离。

\(x=c\int_{t_e}^{t_r}\frac{dt}{a(t)}\;\;\; a(t_0)=1\)

当前宇宙的视界半径： \[ d_H=c\int_0^{t_0}\frac{dt}{a(t)} \] 由于： \[ z=\frac{1}{a(t)}-1\to \frac{dz}{dt}=-\frac{\dot{a}}{a^2}=-\frac{\dot{a}}{a}\frac{1}{a} \]

\[ \frac{dt}{a}=-\frac{dz}{H} \]

\[ d_h=c \int_{0}^{+\infty}\frac{dz'}{H(z')} \]

由H 方程：并且：\(a^{-3}=(1+z)^3\), \(\Omega_{\Lambda,0}=1-\Omega_{mat,0}\) \[ H=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}(1+z)^3+(1-\Omega_{mat,0})} \] 于是 \[ d_h\approx c t_H 3.2=14000Mpc \] 实际上，我们看到的最远的星系，\(z\approx10\)，于是物理距离： \[ ct_H\int_0^{10}\frac{dz'}{\sqrt{\cdots}}\approx 2.18ct_H=9500Mpc=\frac{2}{3}d_H \]

11.24 上课第十一讲早期宇宙基础

11.2变化的量

尺度因子 \(a(t)\) ，物理距离（固有距离）无法测量。可以测量发光天体的红移z。红移和尺度因子之间有关系 \[ z=\frac{1}{a(t)}-1=\frac{a(t_0)}{a(t)}-1 \] 常常将红移作为宇宙演化的主要变量。已知红移的大小可以知道发光天体的很多性质。

红移z对应的宇宙年龄。(\(a(t)\)中的 t 是多大，也就是发光时候的宇宙年龄是多少。)或者理解为时间坐标，坐标的原点就是大爆炸发生的时候(t=0)。

求导得到： \[ \frac{dt}{a}=-\frac{dz}{H}\\ dt=-\frac{dz}{H}a\\ dt=-\frac{dz}{H}(1+z)^{-1}\\ \int_0^{t_e}dt=\int_z^{+\infty}\frac{dz}{1+z}\frac{1}{H} \] 其中，z是测量得到的红移值，\(+\infty\)是在宇宙大爆炸时的红移值。
已知红移，还可以计算与z相关的距离。一个是发光体和我们之间的共动距离， \[ d_p=\int_{t_e}^{t_r}c\frac{dt}{a(t)}=c\int^{z}_0\frac{dz'}{H} \] 当前时刻的共动距离 = 当前时刻的物理距离

二是红移z对应的视界半径。 \[ d_h(z)=c\int_{t=0}^{t_e}\frac{dt}{a(t)}=c\int_z^{\infty}\frac{dz'}{H} \] 上面的计算中需要用到哈勃参数，考虑F方程。 \[ H=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}(1+z)^3+\Omega_{rad,0}(1+z)^4+\Omega_{\Lambda,0}+\Omega_{k,0}(1+z)^2} \] 当前时刻： \[ \Omega_{mat,0}+\Omega_{rad,0}+\Omega_{\Lambda,0}+\Omega_{k,0}=1 \] 其中: \[ \Omega_{\Lambda,0}=0.69\;\; \Omega_{k,0}=1-\Omega_{\Lambda,0}-\Omega_{mat,0}-\Omega_{rad,0} \] 在早期宇宙(z很大)，演化为辐射主导，这时候不能够忽略辐射项。

利用\(\rho_{rad}=\rho_{rad,0}a^{-4}\) \(\rho_{mat}=\rho_{mat,0}a^{-3}\) \(\rho_\Lambda=常数\) 可以得到两个重要时刻：
1. 辐射-物质等量： \[ \rho_{rad,0}a^{-4}_{rm}=\rho_{mat,0}a^{-3} \] \(a_{rm}\sim 2.9\times 10^{-4}\) \(z_{rm}=\frac{1}{a_{rm}}-1\approx 3443\), 实际上现在接收到的最大的红移值是10 左右。\(t_{rm}\approx 5万年\) 世界半径： \(d_h(t_{rm})=112Mpc\)。\(d_h(t_0)=14000Mpc\). 两者的比例大约是125.
2. 物质和暗能量等量期。 \[ \rho_{mat}(a_{m\Lambda})=\rho_{\Lambda}\Rightarrow a_{m\Lambda}=(\frac{\Omega_{mat,0}}{\Omega_{\Lambda,0}})^{1/3}=0.77 \] ，当时宇宙是现在宇宙的77%。\(z_{m\Lambda}=0.3\) \(t_{m\Lambda}=101亿年\)，（现在的30亿年前），视界半径： \(d_h(t_{m\Lambda})=12880Mpc\).

11.2粒子数守恒

宇宙微波背景辐射T=2.725k, 黑体谱的能量密度： \(\epsilon=\alpha T^4=0.2606 MeV/m^3\), 辐射： \(\epsilon_\gamma=\rho_\gamma c^2\), \(T\sim a^{-1}\) \[ T=T_0a^{-1}\approx 3a^{-1}=3(1+z)\quad n_\gamma=\beta T^3\sim a^{-3} \] 对于非相对论粒子，\(\rho_{mat}=n_{mat}\times m_0\sim a^{-3}\Rightarrow n_{mat}\sim a^{-3}\). 发现和相对论物质的粒子数密度的变化规律是一样的。

稳定的粒子的总数N是守恒的。宇宙膨胀的时候，\(n=\frac{N}{V}\sim \frac{N}{a^3}\sim a^{-3}\) 。

没有相互作用的时候，N是守恒的，

有相互作用时候，如果反应很频繁，达到了某种平衡时。粒子数目也守恒 \[ H+\gamma\to p+e^{-1} \] 只有在有相互作用，平衡被破坏时候，粒子数不守恒。

11.3 离子，原子的电离

考虑\(a=10^{-6}\)辐射主导期，CMB 气体\(T=3\times 10^{6}K\) 光子的能量： \(E_{mean}=2.7k_BT=700eV\) 。H的电离能，\(Q=13.6eV\) 。光子气体的能量能够电离氢原子。

简化模型，认为宇宙中全都是氢原子。

如果高能光子数目远远大于氢原子数目，则完全电离。

Q: 宇宙中，光子与重子数目的比例是多少。 \[ n_{\gamma,0}=4.11\times 10^8m^{-3} \] 重子: 核合成的结果：(h=0.68) \[ 0.021<\Omega_{B,0}h^2<0.025 \] 作为估算，取中间值： \[ \Omega_{B,0}=\frac{\epsilon_{B,0}}{\rho_{c,0}c^2}\approx 0.023h^{-2} \]

\[ \epsilon_{B,0}=2.415MeV/m^3 \]

又知道重子物质，质子，中子的质量是939MeV。 \[ n_{B,0}=0.26m^{-3}\\ \frac{n_{\gamma,0}}{n_{B,0}}=1.6\times 10^{9} \] 常用重子，光子数目的比例： \[ \eta=\frac{n_{B,0}}{n_{\gamma,0}}=6\times 10^{-10} \]

第十二讲复合与退耦

\(T\sim a^{-1}\), \(T_0=3k\) \(E_{mean}=2.7k_BT\)

上节课讲到，重子和光子的数密度之比，当前时刻\(\eta=\frac{n_{B,0}}{n_{\gamma,0}}\sim 6\times 10^{-10}\)。宇宙的粒子数是守恒的，于是在足够早的时期，这个比值也是成立的。\(\eta\)在早期也成立。（也不能太早。。。）中性氢原子可以完全电离。完全电离时候，当时宇宙中他的组成：自由的质子，自由的电子，大量的光子。

根据粒子物理知识，自由电子会与光子发生Thomson散射。散射结果：这时候的宇宙是不透明的。类似于雾天光子和水蒸气发生散射。

当宇宙演化，温度逐渐降低，当T降低到不能够使自由质子和电子可以形成中性原子。H原子可以大量形成。中性H原子大量形成的时期叫做复合。（recombination）复合过程会大量消耗自由电子。自由电子减少后使得光子与电子退耦（decoupling不发生散射）。光子退耦后自由传播至今，形成CMB。

12.1 Thomson散射

\[ \gamma+e^{-}\to \gamma + e^{-} \]

结论：散射截面（理解为反应发生的概率） \[ \sigma_e=6.65\times 10^{-29}m^{2} \] 光子的平均发生Thomson散射前走的距离（平均自由程）： \[ d=\frac{1}{\sigma_e\cdot n_e} \] 光子的平均碰撞时间：(d/c). Thomson散射的速率： \(\frac{c}{d}\equiv \Gamma=c\cdot n_e\cdot \sigma_e\) 。其中的\(n_e\)是会随着宇宙演化发生变化，于是\(\Gamma\) 是可变的。在H完全电离时。

在H完全电离时\(n_e=n_p\approx n_B\) （电子数=质子数=重子数）

由于： \(n_e=n_B=n_{B,0}a^{-3}\), 其中\(n_{B,0}=0.26 m^{-3}\). 于是： \[ \Gamma=\frac{5.187\times 10^{-21}/s}{a^{3}} \] 比如\(a=10^{-6}\)时候， \(\Gamma=5.187\times 10^{-3}/s\) 。想观察\(\Gamma\)什么时候足够小，认为电子和光子作用弱，于是可以作为退耦的判断。

Q：如何判断\(\Gamma\)是大还是小

\(\Gamma>H\)，（H 为哈勃常数）光子和电子耦合, 相互作用平凡（达到平衡），光子温度和电子温度一样。由于电子和质子有电磁作用，于是他们的温度也一样，于是此时光子气体的温度代表了整个宇宙的温度。

12.2 光子的退耦

\(\Gamma<H\) 光子与电子几乎不再碰撞，也就是退耦。退耦以后宇宙就是透明的了。

\(\Gamma=H\)时候，\(a_{dec}=?\) \(H(a)=?\). 想要知道H和a的关系。F 方程(\(H\sim\rho\))

当\(a< a_{rm}=2.9\times 10^{-4}\), 宇宙主要以辐射主导。F 方程只考虑辐射的项： \[ H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_{rad} \]

\[ \rho_{rad}=\rho_{rad,0}a^{-4} \]

于是 \[ H=\frac{H_0\sqrt{\Omega_{rad,0}}}{a^2} \] \(H_0=2.203\times 10^{-18}s^{-1}\) \(H=\frac{2.1\times 10^{-20}s^{-1}}{a^2}\) 当\(a=10^{-5}\)时， \(H=2.1\times 10^{-10}s^{-1}<< \Gamma=5.187\times 10^{-6}s^{-1}\) , 所以说a要大一些。

进入到了物质主导期。\(H=\frac{H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}}}{a^{3/2}}\). 令\(H=\Gamma\)时候，解出\(a=0.026\) 由于 \(T\sim a^{-1}\sim 100k\) 于是光子的平均能量是\(0.023eV\), 远远低于氢原子的电离能。所以说这个结果是不能接受的。因为早在\(T\sim 100k\)前，电子已经和质子结合了。于是我们的假设（氢原子完全电离）是错的。这个计算表明复合过程一定发生于退耦之前。复合过程导致电子数\(n_e\)迅速降低。降低速率比宇宙膨胀导致的减少要快。从而导致光子迅速退耦。退耦是在中性氢原子合成以后迅速完成。

通过下一讲，复合发生于温度\(T_{rec}=3760K\) 相应的宇宙年龄\(t_{rec}=25万年\) 。（发生在物质主导期），相应的红移：(z=1380) 。退耦是在复合之后很快进行的，发生时候的温度=2970k, \(t_{dec}=37万年\)。红移(z=1090)

目前接收的CMB光子：半径为 13850Mpc --- 如何计算：已知从\(z_{dec}=1090\) 发出的光子传播到\(z=0\). 于是计算共动距离：（前面讲过） \[ d_p(t_0)=\int\frac{cdt}{a(t)}=\int_0^{z_{dec}}\frac{dz'}{H} \] 这个\(d_p\)形成的球面是叫做最终散射面。（在这个面之后光子是自由传播的）

第十三讲，复合和退耦（二）

\(T\sim a^{-1}\) 自由电子和光子发生Thomson散射，散射速率\(\Gamma=n_3\sigma_e c\), 其中粒子数密度\(n_e\)随着 a 演化而变化。假设在演化过程中自由电子数守恒。\(n_e\sim a^{-3}\sim T^{3}\) 于是\(\Gamma(T)\sim T^3\) 。当\(\Gamma>H\), 散射频率比较高，光子与电子耦合。

在物质主导期，哈勃参数H，可以用密度参数写出： \[ H=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}}a^{-3/2}=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}}( \frac{T}{T_0})^{3/2} \] 定义退耦是\(\Gamma=H\)的时候。 \(a\approx 0.026\), \(T_{dec}=100K\sim 0.023eV\)。当温度降低到一定程度以后，\(Q\sim 13.6eV\) 自由电子会被质子（H原子核）或者其他的原子核束缚住，形成中性的原子，这个过程称为复合。复合发生时，自由电子数量不再守恒。所以电子数密度\(n_e\) 不能够按照\(T^3\) 的方式来下降。而是会以更复杂，更快的方式下降。（比\(T^3\)的形式更快）因此，要了解退耦，需要了解复合过程。需要知道\(n_e(T)\)时如何变化的。同时也就知道\(\Gamma(T)\)。于是就可以算出\(T_{dec}\) 。简单起见，考虑氢原子复合 \[ p+e^{-}\leftrightarrow H+\gamma \]

13.1 电离能

\(Q=13.6eV\) 先考虑温度是\(1eV\)左右的时刻。这时候正逆反应可以达到平衡。随着温度\(T\)的降低，部分质子开始与电子\(e^-\)结合，形成氢原子。引入电离度的概念： \[ \chi=\frac{n_p}{n_B}=\frac{n_p}{n_p+n_H}=\frac{n_e}{n_p+n_H} \] \(n_p\)代表自由质子数密度。\(n_B\)代表重子总数密度（既包括质子的，也包括被没有电离的H原子的数密度）。 \[ \frac{1}{\chi}=1+\frac{n_H}{n_e} \] 如果\(\chi=1\), 代表完全电离。如果\(\chi=0\), 代表重子全都是中性原子。从电离度的定义，可以验证一个等式： \[ \frac{1-\chi}{\chi^2}=\frac{\frac{1}{\chi}-1}{\chi}=\frac{n_H}{n_e}\frac{n_B}{n_e}=\frac{n_H}{n_e^2}n_B \] 而\(n_B=\eta n_\gamma=\eta\beta T^3\) 于是 \[ \frac{1-\chi}{\chi^2}=\frac{n_H}{n_e^2}\eta\beta T^3=S(T) \] 也就是\(1-\chi-S(T)\chi^2=0\)。下面解释为什么\(\frac{n_H}{n_e^2}\)可以写成温度的函数

13.2 Saha 方程

在\(E\sim 1eV\)时， \(H,p,e^{-}\)都是非相对论的。 (\(mc^2>>k_BT\)) 由统计物理。非相对论粒子的数密度 \[ n_x=g_x\left(\frac{m_xk_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}e^{\frac{-m_xc^2+\mu_x}{k_BT}}\quad x=H,p,e^- \] 化学平衡条件\(\mu_H+\mu_\gamma=\mu_p+\mu_e\) 由统计物理：\(\mu_\gamma=0\) 最终得到关系 \[ \mu_H=\mu_p+\mu_e \] 考虑比例关系。 \[ \frac{n_H}{n_e\cdot n_p}=\frac{g_H}{g_eg_p}\left(\frac{m_H}{m_em_p}\frac{2\pi\hbar^2}{k_BT}\right)^{3/2}\times e^{-\beta(m_H-m_e-m_p)c^2}/(k_BT) \] 做如下简化：

电中性 \(n_e=n_p\)
氢原子电离能\(Q=(m_e+m_p-m_H)c^2=13.6eV\)
\(\frac{m_H}{mem_p}\approx\frac{1}{m_e}\)
\(g_P=g_e=2,g_H=4\)

最终得到Saha方程 \[ \frac{n_H}{n_e^2}\eta\beta T^3=\left(\frac{2\pi\hbar^2}{m_ek_BT}\right)^{3/2}e^{Q/k_BT}\eta\beta T^3\equiv S(T) \] 得到电离度S和温度之间的联系 \[ \chi(T)=\frac{-1+\sqrt{1+4S(T)}}{2S(T)} \]

13.3 复合

一般把复合定义为电离度\(\chi\)取某个特定值的时刻。不同的书定义不一样。比如说Liddle书，复合的定义是\(\chi=0.1\) 也就是有90%的质子已经形成了H原子的温度。\(\frac{n_p}{n_B}=0.1\) Ryden 书中说复合的定义是\(\chi=0.5\) \(k_BT=0.324eV=\frac{Q}{42}\) \(T_{rec}=3760K\)

利用\(a\sim T^{-1} \Rightarrow a_{rec}=\frac{2.725K}{3760K}=7.25\times 10^{-4}\)

由于物质-辐射主导期的分界线是\(a_{rm}=2.9\times 10^{-4}\)。所以复合发生在物质主导期。

13.4 光子的退耦

\[ 复合开始\Rightarrow n_e快速下降\Rightarrow 光子退耦 \]

光子的退耦也发生于物质主导期。物质主导期 \[ H=H_0\sqrt{\Omega_{mat,0}}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2} \] 退耦： \[ \Gamma(T)=H(T) \] 由于 \[ \Gamma(T)=n_e\sigma_e c \] 利用 \[ \chi=\frac{n_P}{n_B} \] 得到 (\(\eta\)是光子的重子数之比) \[ n_e=\chi \;n_B=\chi\eta\; n_\gamma=\chi\eta\beta T^3 \] 带入\(\chi\)的具体形式。于是 \[ \Gamma(T)=\chi(T)\eta\beta\;T^3\sigma_e c \] 于是 \[ \Gamma(T)=H(T)\Rightarrow T_{dec}=3.9\times 10^{-4}\quad z_{dec}=1120 \] 计算出退耦时候的宇宙年龄 \[ t_{dec}=\int_{zdec}^{+\infty}\frac{dz'}{(1+z')H(z')}\approx 35.5万年 \] 需要注意，SAha方程的成立前提是反应 \[ p+e^{-}\leftrightarrow H+\gamma \] 是平衡反应。实际上，这个反应在后期会被破坏平衡性。要考虑非平衡效应。最终结果： \[ T_{dec}=2970K\quad z_{dec}=1190\quad t_{dec}=37.1万年 \]

13.5宇宙膨胀与光子黑体谱的保持

CMB 是宇宙早期留下来的形成的光子自由传播至今。CMB后，光子数量守恒。

宇宙膨胀\(\Rightarrow\) CMB的性质发生变化

数密度减少\(n\sim a^{-3}\)
每个光子将发生红移\(f\sim a^{-1}\)
光子气体温度下降\(T\sim a^{-1}\)

考虑\(a\to a'\)的过程。 a时，频率在\(f\sim f+df\) 内的光子数密度是 \[ n(f)df=c\frac{f^2df}{e^{\frac{hf}{k_BT}}-1} \] 到\(a'\)时，这些光子的频率是\(f'=f\frac{a}{a'}\) \[ n'(f')df'=n(f)df(\frac{a}{a'})^3=c\frac{f^2df}{e^{\frac{hf}{k_BT}}-1}(\frac{a}{a'})^3=c\frac{f'^2df'}{e^{\frac{hf'}{k_BT'}}-1} \] 就是说分布仍然是黑体辐射。

暴涨

大爆炸理论，宇宙从高温，高密度的初始状态演化。早期宇宙没有中性原子，只有核子电子光子等粒子。1s到1min发生核合成。核合成可以预言H，He等粒子的比例。可以预言轻核的丰度。可以观测早期气体的丰度。

大爆炸理论存在一些疑难。主要在考虑到极早期宇宙时，疑难会显现出来。解决方案：暴胀，宇宙极早期，（早于核合成，比如\(10^{-36}s-10^{-34}s\)）一个极短的加速膨胀。暴胀结束后，宇宙按照大爆炸描述的过程演化。

大爆炸存在的疑难
- A、 (flatness, 平直性疑难) CMB, BAO, 超新星观测。当前宇宙介质的总密度参数\(\Omega_{tot}=\Omega_{mat,0}+\Omega_{rad,0}+\Omega_{\Lambda,0}\) 三者大约是0.31 \(10^{-5}\) 0.96。但是由弗里德曼方程 \(\Omega_{tot,0}+\Omega_{k,0}=1\). 说明 \(\Omega_{k,0}\approx 0\) 说明\(t_0\)时刻，空间几何近似平直。 \[ \Omega_{tot}\equiv \frac{\rho_{tot}}{\rho_c}\quad \text{随时间变化} \]
  
  \[ \rho_c=\frac{3H^2}{8\pi G}\quad \rho_{tot}=\rho_{mat}+\rho_{rad}+\rho_{\Lambda} \]
  
  F 方程： \[ H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_{tot}-\frac{kc^2}{a^2}\rightarrow |1-\Omega_{tot}|=\frac{k}{aH^2} \] 如果\(\Omega_{tot}=1\), 则\(k=0\)。若\(\Omega\approx 1\)则 \(|\Omega_{tot}-1|\) 随时间t变化。考虑两种典型的解。
  1. 物质主导： \[ a(t)=(\frac{t}{t_0})^{2/3}\;\; H(t)=\frac{2}{3t} \] 则： \[ |\Omega_{tot}(t)-1|=\frac{|k|}{a^2H^2}\sim t^{2/3} \]
  2. 辐射主导： \[ a(t)=(\frac{t}{t_0})^{1/2}\quad H(t)=\frac{1}{2t} \]
    
    \[ |\Omega_{tot}(t)-1|\sim t \]
  对这两种情况 \(|\Omega_{tot}-1|\) 都是随着时间单调增。试验观测现在是\(|\Omega_{tot}-1|\sim 10^{-3}\)，在核合成\(t_{nuc}\)的时候。\(|\Omega_{tot}(t_{nuc})-1|\sim 10^{-15}\)。意味着处于平直几何是宇宙的一种不稳定状态。
- B、视界疑难
  
  能看到的范围叫做最终散射面。按照大爆炸理论宇宙年龄有限。光速有限，能看到的可观测宇宙有限。CMB观测结果：早期宇宙几乎是各向同性的。T=2.725K
  
  简单计算：假设宇宙一直是物质主导\(\Omega_{mat=1}\), \(a(t)\sim t^{2/3}\)，取\(H_0=100km/s/Mpc\) 宇宙年龄\(t_0=\frac{1}{H_0}\), 光速\(c=3\times 10^{-7}Mpc/yr\) 从大爆炸到现在，光能传播的最远距离，视界： \(c t_0=3000Mpc\)。
  
  CMB形成于光子退耦时候： \[ \frac{a}{a_{dec}}=1000=(\frac{t_0}{t_{dec}})^{2/3}\rightarrow t_{dec}=10^{11/2}yrs \] 从大爆炸到\(t_{dec}\)，光子能走的最远距离： \[ l_{dec}=c t_{dec}=0.095Mpc \] 相应的共动距离：（当前来看的距离） \[ l_{dec}/a_{dec}=1000l_{dec}=95Mpc \] 而我们当前的视界距离是\(3000Mpc\) ,相应的角度：（代表物质能相互联系的角度） \[ \theta=\frac{95Mpc}{3000Mpc}=2^\circ \]
- C.重粒子残留丰度疑难（磁单极子）
  
  辐射至少在大爆炸后的一个时间内主导\(t_{rm}\sim 3万年\)。 \(\rho_{rad}\sim a^{-4}\), \(\rho_{mat}\sim a^{-3}\) \(\rho_{rad}\) 衰减更快。若早期有少量NR重粒子，他们很快占主导。代表：1. 大统一理论的磁单极子2.超引力，引力微子 100GeV，\(S=\frac{3}{2}\) 。超弦理论 spin 0, 质量大，很快变成WR。\(T_{GUT}\sim 3\times 10^{28}k\), 产生了\(\Omega_{mon}=10^{-10}\Omega_{rad}\) 则\(\frac{\Omega_{mon}}{\Omega_{rad}}\sim\frac{1}{T}\)，产生时\(\frac{\Omega_{mon}}{\Omega_{rad}}|_{T=3\times 10^{28}}=10^{-10}\). 当\(T=3\times 10^{18}K\)时， \(\Omega_{mon}=\Omega_{rad}\),而当 \(T=3K\)时候，\(\frac{\Omega_{mon}}{\Omega_{rad}}|_{T=3K}=10^{18}:1\)与观测不符。
暴胀，加速速膨胀。 \[ p<-\frac{\rho c^2}{3}\quad w<-\frac{1}{3} \] 最简单模型\(\Lambda>0\) ,\(w=-1<-\frac{1}{3}\) , F 方程\(H^2=\frac{\Lambda}{3}\rightarrow a=e^{\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}t}\). 暴胀开始，结束都必须很早。结束时候\(\Lambda\)的能量传给了物质。一般暴胀模型假设发生于\(10^{-36}s\)左右，结束于\(10^{-34}s\)对应GUT的能量 \(10^{16}GeV\)

解决平直疑难问题：

存在的原因是 \[ |\Omega_{tot}-1|=\frac{|k|}{a^2H^2} \] 是时间的增函数。在暴胀中，\(\ddot{a}>0\rightarrow \frac{d}{dt}\dot{a}>0\)也就是 \(\frac{d}{dt}(\frac{\dot{a}}{a}a)>0\),也就是 \(\frac{d}{dt}(Ha)>0\) 指数膨胀： \[ |\Omega_{tot}-1|\sim e^{-\sqrt{\frac{4\Lambda}{3}}t} \] 解决世界疑难问题：

暴胀前如果有一个区域，处于因果范围内。暴胀结束后的大小比当前宇宙都要大。
暴胀的五点假设：
1. 暴胀结束于\(10^{-34}s\),
2. 指数膨胀
3. 结束至今，辐射主导
4. 开始前\(|\Omega_{tot}-1|\sim 1\)
5. 当前时刻\(t_0\), \(|\Omega_{tot}-1|<0.1\), 辐射主导期\(|\Omega_{tot}(t)-1|\sim t\) \(t_0=4\times 10^{17}s\) ,于是\(|\Omega_{tot}(t=10^{-34}s)-1|<3\times 10^{-53}\) 。在暴胀时期，H为常数，\(|\Omega_{tot}-1|\sim\frac{1}{a^2}\), 暴胀过程要膨胀\(10^{27}\)