Wiener-Kinchin theorem, 以及白噪声，以及噪声的单位里为什么有根号赫兹
Wiener-Kinchin theorem, 以及白噪声，以及噪声的单位里为什么有根号赫兹 \(\sqrt{Hz}\)
如果有一个信号（噪声比如说），关联函数满足 (尖括号代表取平均值) \[ C(\tau)=\langle x(t)x(t+\tau)\rangle. \] 定义 Fourier 变换后的关联函数为 \[ \hat{C}(w) = \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau e^{-iw\tau}C(\tau) \] 定义一段时间的坐标的 Fourier 变换,,, 这是考虑到测量到的总是一段时间的，所以是先取一段。 \[ \hat{x}_T(w)\equiv\int_{-T/2}^{T/2}dt e^{-iwt}x(t) \] 定义 一段时间的spectral power density 为 \[ \hat{S}_T(w) \equiv \frac{1}{T}\langle|\hat{x}_T(w)|^2\rangle. \] spectral power density 定义为 \[ \hat{S}(w)\equiv \lim_{T\to\infty} S_T(w) \equiv \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\langle|\hat{x}_T(w)|^2\rangle \] Wiener-Kinchin theorem: \[ \hat{S}(w)=\hat{C}(w) \] 下面是简短的证明：Proof of Weiner-Kinchin theorem by direct calculation. \[ \begin{align} \hat{S}(w)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\int_{-T/2}^{T/2}dtds \langle x(s)x(t)\rangle e^{-iw(s-t)}\\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\int_{-T/2}^{T/2}dtds\; C(s-t)\; e^{-iw(s-t)} \end{align} \] 考虑到积分性质 ( 可以画一个正方形的积分区间，然后观察一下) \[ \int_{-T/2}^{T/2}ds\int_{-T/2}^{T/2}dt g(s-t)=\int_{-T}^T d\tau\; g(\tau)(T-|\tau|) \] 于是 spectral power density 是 \[ \begin{align} \hat{S}(w)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}d\tau C(\tau)e^{-iw\tau}(T-|\tau|)\\ &=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}d\tau C(\tau)e^{-iw\tau}\\ &=\hat{C}(w) \end{align} \] White Noise
白噪声的特点是, (下一时刻的噪声和这一时刻没有关联) \[ \langle x(t)\rangle=0,\quad \langle x(t)x(t+\tau)\rangle=A\delta(\tau). \] 既然关联函数是 delta 函数，correlation function 的频域函数是 \[ C(\tau)=A\delta(\tau)=A\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dw e^{iw\tau}.\Rightarrow \hat{C}(w)=A \] Note, 用到了 delta 函数的性质 \(\int dx e^{iwx}=\sqrt{2\pi}\delta(w)\) . 根据 Weiner-Kinchin theorem ,spectral power density is \[ \hat{S}(w)=Const= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\langle|\hat{x}_T(w)|^2\rangle \] Fourier transform of noise signal
现在做了测量，在时间 \(-T/2\to T/2\) 之间有信号 \(x(t)\). 他可以被 Fourier 展开 \[ x(t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n e^{iw_n t},\quad w_n=\frac{2\pi}{T}n. \] 直接计算得到一段时间内的坐标在频域的函数 \[ \hat{x}(w_n)=\int_{-T/2}^{T/2}dt e^{-iw_nt}x(t)=Tc_n \] 所以 \[ \hat{S}(w_n)=Const = \lim_{T\to\infty }\frac{1}{T}\langle|\hat{x}_T(w)|^2\rangle=T\langle|c_n|^2\rangle \] 既然这个常数与总时间 T 以及频率的取值 n 都没有关系。认为 \(\langle|c_n|^2\rangle=\sigma^2\)
于是 \[ \langle|c_n|^2\rangle=\sigma^2 = \frac{1}{T}Const \] 如果说测量的信号的单位是 Tesla (\(T\)), 那么可以用这个常数来度量噪声的强度，单位是 \(T^2\cdot s\). 或者说，用 \(\sqrt{Const}\) 来度量噪声的强度，单位是 \(T/\sqrt{Hz}\).
测量噪声的强度
这里主要是和 matlab 的 fft代码关联。matlab fft 的作用是 \[ Y(k)=\sum_{j=1}^N X(j)e^{-\frac{2\pi i}{N}(j-1)(k-1)}\\ X(j)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N Y(k)e^{\frac{2\pi i}{N}(j-1)(k-1)} \] 认为每一步的时间是 \(t_j = \frac{j-1}{N}T_0\) , 离散的频率取为 $_k = (k-1)=(k-1) $。理解为 (时间的取值范围是 \(0\to T_0(1-\frac{1}{N})\) , 频率的取值范围是 \(0\to \frac{2\pi}{T_0}(N-1)\) ) \[ Y(\omega_k)=\sum_{t_j = 0}^{T_0-\delta t} X(t_j)e^{-i\omega_kt_j}\\ X(t_j)=\frac{1}{N}\sum_{\omega_k = 0}^{\frac{2\pi}{T_0}(N-1)}Y(\omega_k)e^{i\omega_k t_j} \] 如果将时间做一个平移， \[ X(t_j-T/2+T/2)=\frac{1}{N}\sum_{\omega_k = 0}^{\frac{2\pi}{T_0}(N-1)}Y(\omega_k)e^{i\omega_k (t_j-T/2)}e^{i\omega_kT/2} \] 所以 \(c_k =\frac{1}{N}|Y'(\omega_k)|=\frac{1}{N}|Y(\omega_k)|\)。 所以用 fft 算出来的 Y 和需要的物理量 c 之间的关系就是这个。
之后再对各种频率的 \(c^2\) 取平均，再乘以测量的总时间，再开根号就是需要的噪声水平。 \[ \sqrt{Const}=\left[T\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\left(\frac{1}{N}Y(w_k)\right)^2\right]^{1/2}=\left[\delta t\sum_{k=1}^N\left(\frac{1}{N}Y(w_k)\right)^2\right]^{1/2}. \]